Marche aléatoire positive
Bonjour à tous,
J'aimerais faire l'exercice suivant, uniquement avec des calculs simples :
Si $M_n$ une la marche aléatoire simple sur $\mathbb{Z}$, et $T$ le temps d'atteinte de 1, j'aimerais montrer que $\mathbb{E}[M_n\mathbf{1}_{T>n}]\nrightarrow 0.$
Avec le théorème d'arrêt c'est facile, car si ma quantité tend vers 0, je peux appliquer le théorème et obtenir que $1=\mathbb{E}[M_T]=\mathbb{E}[M_0]=0$, mais comme je l'ai dit j'aimerais faire sans. Quelqu'un aurait une idée ?
J'ai essayé de conditionner par les valeurs de $T$, et essayer de trouver l'espérance d'une marche aléatoire conditionnée à être positive, mais je ne trouve pas de moyen simple.
Merci 

Réponses
-
Tu peux faire cela par le 'Ballot Theorem' Feller Tome 1 page 70.
-
Ça pourrait fonctionner en utilisant la linéarité de l'espérance. D'une part, $E(M_n)=0,$ d'autre part, en décomposant l'événement $(T\leq n)=(T=1)\cup (T=2)\cup\dots\cup (T=n)$ et en utilisant $E(M_n\mathrm{1}_{T=k})=P(T=k)$ ($1\leq k\leq n$), on obtient $E(M_n\mathrm{1}_{T\leq n})=P(T\leq n).$Pour prouver que $E(M_n\mathrm{1}_{T=k})=P(T=k),$ on écrit $M_n=M_k+X_{k+1}+\cdots +X_{n}$ et on utilise le fait que $M_k=1$ sur l'événement $(T=k).$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.5K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.6K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres