Marche aléatoire positive

Bonjour à tous,
J'aimerais faire l'exercice suivant, uniquement avec des calculs simples :
Si $M_n$ une la marche aléatoire simple sur $\mathbb{Z}$, et $T$ le temps d'atteinte de 1, j'aimerais montrer que $\mathbb{E}[M_n\mathbf{1}_{T>n}]\nrightarrow 0.$
Avec le théorème d'arrêt c'est facile, car si ma quantité tend vers 0, je peux appliquer le théorème et obtenir que $1=\mathbb{E}[M_T]=\mathbb{E}[M_0]=0$, mais comme je l'ai dit j'aimerais faire sans. Quelqu'un aurait une idée ?

J'ai essayé de conditionner par les valeurs de $T$, et essayer de trouver l'espérance d'une marche aléatoire conditionnée à être positive, mais je ne trouve pas de moyen simple.
Merci :)

Réponses

  • Tu peux faire cela par le 'Ballot Theorem' Feller Tome 1 page 70.
  • Ça pourrait fonctionner en utilisant la linéarité de l'espérance. D'une part, $E(M_n)=0,$ d'autre part, en décomposant l'événement $(T\leq n)=(T=1)\cup (T=2)\cup\dots\cup (T=n)$ et en utilisant $E(M_n\mathrm{1}_{T=k})=P(T=k)$  ($1\leq k\leq n$), on obtient $E(M_n\mathrm{1}_{T\leq n})=P(T\leq n).$
    Pour prouver que $E(M_n\mathrm{1}_{T=k})=P(T=k),$ on écrit $M_n=M_k+X_{k+1}+\cdots +X_{n}$ et on utilise le fait que $M_k=1$ sur l'événement $(T=k).$

  • A vous deux, merci pour votre aide ! Le Ballot theorem était justement quelque chose que je voulais éviter d'utiliser, mais l'astuce de @rebellin est exactement ce que je cherchais, merci beaucoup :smile: !
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