Interversion intégrale et dérivée

Bonsoir à tous,

J'ai une question concernant une interversion intégrale/dérivée qui me parait juste mais que je ne sais justifier. J'ai demandé à mon chargé de TD mais il semble ne pas savoir comment le justifier non plus.

L'énoncé : Soit $a \in \mathbb{R}$. On pose $I(a) = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin^2(ax)}{x^2}dx$.

Je pose cette intégrale pour calculer en réalité l'intégrale de l'application sinus cardinal au carré (Effectivement cette expression évaluée en $1$ est exactement ce que je recherche). Il est évidemment possible de calculer l'intégrale concernée autrement (via IPP ou encore via calcul d'une série de Fourier d'une indicatrice puis application de l'identité de Parseval) mais je trouvais cette démonstration très élégante et instructive.

J'aimerais justifier que : $I'(a) = \displaystyle\frac{d}{da} I(a) =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{da} \left( \frac{\sin^2(ax)}{x^2} \right) dx$

Ma question : Avec quel argument puis-je justifier cette interversion ?

Ce que j'ai essayé : La règle de Leibnitz sur les intégrales semble ne pas fonctionner ici car l'intégrale est impropre (certes les bornes ne dépendent pas de $a$ mais ne sont pas non plus des constantes, les hypothèses ne sont donc pas respectées).

J'ai lu qu'une condition suffisante à l'interversion serait que l'intégrale $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{d}{da}f(x,a)\,dx$ avec $f$ la fonction $(x,a) \mapsto \displaystyle\frac{\sin^2(ax)}{x^2}$ soit uniformément convergente par rapport à $x$.

Comment faire ? Mes compétences en analyse sont assez limitées.

En vous remerciant de l'attention que vous porterez à ce post.

Réponses

  • Bonjour
    Pour résoudre ton problème, je pense que tu peux faire une intégration par parties sur l'intégrale $\partial_a f(x,a)$ de façon à faire apparaître un terme en $\dfrac{1}{x^2}$

     
  • bonjour,

    vous êtes dans le cas de la dérivation d'une intégrale à paramètre. I(a)=$\int _{-\infty}^{+\infty}$f(a,x)dx, pour intervertir l'intégration et la dérivation partielle, il faut :
    1) (a,x) -->f (x, t) est une fonction continue sur  $\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$ (car ici a $\in \mathbb{R}$  et l'invervalle d'intégration est [$-\infty,+\infty$])
    2) la dérivée partielle (a,x) --> $\dfrac{\delta f (x, t)}{\delta a}$ existe et est continue sur  $\mathbb{R}$x$\mathbb{R}$

    remarque : votre fonction est paire , I(a)=2$\int _0^{+\infty}$f(a,x)dx










  • erratum :f(x,t) lire f(a,x)
  • jmf
    jmf
    Modifié (March 2022)
    @math78

    Non, ce ne sont pas les bonnes hypothèses.

    Voici l'énoncé officiel (du moins en prépa), du théorème de dérivation des intégrales à paramètre

    Soit $f\colon(a,x)\mapsto f(a,x)$ une fonction définie sur $I\times J$, à valeurs dans $\mathbb{K}$.

    On fait les quatre hypothèses suivantes:

    • pour tout $a$ de $I$, la fonction $x\mapsto f(a,x)$ est intégrable sur $J$;
    • pour tout $a$ de $I$, la fonction $x\mapsto \dfrac{\partial f}{\partial a}(a,x)$ est continue par morceaux sur $J$;
    • hypothèse de domination: il existe $\varphi\in{\cal L}^{1}(J,\mathbb{R}^{+})$ telle que: $\forall a\in I,\;\forall x\in J,\;\left|\dfrac{\partial f}{\partial a}(a,x)\right|\le\varphi(x)$;
    • pour tout $x$ de $J$, la fonction $a\mapsto \dfrac{\partial f}{\partial a}(a,x)$ est continue sur $I$;

    Alors la fonction $g\colon a\mapsto \displaystyle\int_{J}f(a,x)\text{d}x$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $I$ et: $\forall\, a\in I,\;g'(a)=\displaystyle\int_{J}\dfrac{\partial f}{\partial a}(a,x)\text{d}x$.

    Dans la question posée ici, on a $f(a,x)=\dfrac{\sin^2(ax)}{x^2}$ et  $\dfrac{\partial f}{\partial a}(a,x)=\dfrac{\sin(2ax)}{x}$ donc ça va pas être possible de majorer indépendamment de $a$ (même en le localisant sur un segment) la dérivée partielle par une fonction intégrable en $x$ sur $\mathbb{R}$.

  • llorteLEG
    Modifié (March 2022)
    Pour les connaisseurs y a-t-il moyen de passer par les distributions ?
  • bd2017
    Modifié (March 2022)
    Chronixal  à bien posé le problème et il a besoin de montrer que l'intégrale de $\partial_af(x,a)$ est uniformément convergente (pour a dans un certain intervalle)
    Une i.p.p doit résoudre le problème:
    $$\int_u^\infty  \partial_af(x,a)dx = \dfrac{\cos (2 a u)}{2 a u}-\int_u^\infty \frac{\cos (2 a x)}{2 a x^2} dx$$
    Il suffit de passer à la valeur absolue et de prendre $u$  assez grand pour que le tout soit  majoré par $\epsilon$ (ayant choisi pour a un intervalle fermé qui évite 0)



     
  • Merci pour toutes vos réponses.

    bd2017 j'arrive à comprendre l'essence du raisonnement par IPP mais il reste un doute. Je déduis de ton message que : 

    - Sur $[0,u]$ c'est l'intégrale d'une fonction continue sur un compact donc évidemment convergente uniformément.
    - Sur $[u, \infty[$ c'est, par IPP, la différence d'une constante visiblement dépendante de a et d'une intégrale convergente car Riemanienne, donc ça converge.

    Mais pourquoi la convergence est uniforme pour le deuxième cas, i.e indépendante du paramètre $a$ ?
  • bd2017
    Modifié (March 2022)
    Bon d'abord pour simplifier le problème on peut dire qu'on intègre de 0  à l'infini.
    Le théorème cité par @JMF ne s'applique pas. 
    Dans ce genre d'exercice il faut repasser par la convergence uniforme.  Je pense que c'est que tu as dit dès le départ et tu as raison.
    Dans le théorème que tu veux utiliser, la condition essentielle à vérifier est   de montrer que l'intégrale généralisée 
    $ \int_0^\infty \partial_a  f(a,x) dx$  est uniformément convergente sur un  intervalle que je note $E$ à préciser. 
    C'est dire qu'il faut montrer : $\forall a \in E  , \ \forall  \epsilon > 0 ,\ \exists  A >0,  $  tel que  $\forall u\geq A,\  | \int_u^\infty \partial_a  f(a,x) dx|<\epsilon .$
    On arrive à montrer  cela avec une IPP , à condition de prendre $E$ un intervalle de la forme $E=[b,\infty[ ,\ b>0. $
    Comme $b$ est arbitraire tu récupères  que $I(a)$ est dérivable sur $]0,\infty[$ et $I'(a)$  s'obtient comme annoncé.
     
  • Chronixal
    Modifié (March 2022)
    Merci bd2017 pour ta réponse.
    Il est clair pour moi que nous pouvons nous ramener à une intégrale de 0 à l'infini.
    Il est également clair que la convergence uniforme règle le problème et je suis d'accord avec la définition.
    En revanche, quand bien même j'écris l'IPP et je l'étudie, je ne vois toujours pas en quoi on pourrait toujours choisir A tel que l'intégrale soit toujours aussi petite qu'on veut.
    J'ai essayé avec des exemples pour m'en convaincre mais ce point demeure malheureusement obscur.
  • @jmf , effectivement vous avez raison, j'en avais oublié une grande partie. Merci de l'avoir signalé. Cordialement math78.
  • bd2017
    Modifié (March 2022)
    L'IPP  donne $$w(u,a)=\int_u^\infty \partial f(a,x) dx= \dfrac{\cos (2 a u)}{2 a u}-\int_u^\infty \dfrac{\cos (2 a x)}{2 a x^2} dx $$
    On passe à la valeur absolue et on majore :  $ \forall  a\in [b ,\infty[$
    $|w(u,a)|\leq  \dfrac{1}{2 b u}+ \int_u^\infty \dfrac{1 }{2 b x^2} dx $
    Le terme majorant ne dépend que de $u$  et il tend vers 0.  D'où la CVU de l'intégrale sur $[b,\infty[$
     
  • rakam
    Modifié (March 2022)
    J'ai des doutes sur la dérivation de $a\mapsto I(a)$ car il est évident que $I(a)=|a| I(1)$ et il y aura au moins un problème en $0$.
    D'autre part la dérivée seconde de l'intégrande conduit à une intégrale divergente et il sera difficile de parler de "dérivation sous signe intégral".

    Ceci dit il y a bien un calcul "amusant" du sinus intégral utilisant $I(a)$ et UNE double dérivation sous signe intégral. C'est un exercice en deux questions faisable en MP (aucune notion de convergence uniforme d'intégrale dans ce programme).
    Au cas où l'énoncé proposé aurait été très mal transmis, voici les deux questions :
    1. Déterminer l'unique réel $a$ tel qu'il existe une fonction $f$,  solution (sur $\R$) de l'équation différentielle $4y-y''=4a|x|-\pi$ vérifiant la condition $\forall x\in\R,\;|f(x)|\leq\dfrac{\pi}2x^2$ .
    2. En dérivant deux fois $x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin^2(tx)}{t^2(1+t^2)}\mathrm{d}t$ trouver la valeur de $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin^2t}{t^2}\mathrm{d}t$.
  • bd2017
    Modifié (March 2022)
    Bonjour
    @Rakam. Il n'y a pas de doute à avoir sur la dérivation de $I(a)$ sur $]0,\infty[.$  Je suis d'accord que nous pouvons calculer $I(a)=\int_0^\infty f(a,x) dx $
    @Chronixal  souhaite calculer I(a)  par dérivation sous le signe somme alors que la domination  de $\partial_af(a,x)$ n'est pas possible. Pour cela il utilise un théorème où   la convergence uniforme de l'intégrale généralisée de $\partial_af(a,x)$  permet
    la dérivation sous le signe somme. C'est bien comme cela que je comprends la question et l'intérêt justement c'est de montrer la CVU de l'intégrale de la dérivée partielle.
    Si on fait le point, on a montré la convergence uniforme sur tout intervalle de la forme $[b,\infty[,\  b>0$,  $b$ qcq, donc $I(a)$  est dérivable sur $]0,\infty[$
    Je n'ai  pas dit avoir  la dérivabilité en $0$. Donc pour tout $a>0$
    $\displaystyle I'(a)=\int_0^\infty \dfrac{\sin(a x)}{x} dx  = \int_0^\infty \dfrac{\sin(a x)}{x} dx=\int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x} dx=\dfrac{\pi}{2}$ 
    Donc $I(a)=\dfrac{\pi}{2} a+c$  et après avoir démontré que $I(a)$  est continue (même en zéro)  on obtient alors  $I(a)=\dfrac{\pi}{2}$
    Pour résumé la méthode que propose @Chronixal a son intérêt mais elle demande tout de même de savoir calculer $\int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x} dx$

    Remarque. Le problème est un peu analogue avec la convergence normale des séries. S'il n'y a pas CVN, on se rabat sur la CVU.
     
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