Mesure d'irrationalité de $\pi$ finie

dedekind93

Bonjour à tous.

La mesure d'irrationalité $\mu$ de $\pi$ est définie par $$\mu=\inf\{\alpha\in\mathbb{R}_+\mid \text{card}(E_\alpha)<+\infty\},$$ où pour tout $\alpha\in\mathbb{R}_+$ on pose $\displaystyle E_\alpha=\Big\{\frac pq\in\mathbb{Q}\mid 0<\Big|\pi-\frac pq\Big|<\frac 1{q^\alpha}\Big\}$, avec la convention $\inf(\emptyset)=+\infty$.

Connaissez-vous une démonstration abordable (par exemple dans l'esprit de la démonstration classique que $\pi^2$ est irrationnel) du fait que $\mu$ est finie ? Si non, il semblerait qu'il existe une estimation grossière de $\mu$ dans le Duverney, théorie des nombres : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/398167/#Comment_398167. Si vous avez ce livre, auriez-vous la gentillesse de partager un petit scan ou petite photo rapide ?

Merci d'avance !

Chaurien

Il s'agit de l'exercice 9. 18, p. 124, que voici (merci z-lib).

La question 4) invoque un « théorème 7. 8 » qui est le suivant :

« pour $n \ge 7$ on a : $2^n \le \delta(n) \le 3^n$, où $\delta(n)=PPCM(1,2,...,n)$. »

La question 8) (et finale) renvoie à l'exercice 9. 17, que j'ai envoyé aussi.

Bon courage dedekind93, tout ça a l'air bien compliqué.

dedekind93

Merci beaucoup Chaurien pour tout cela. Effectivement, ça a l'air assez difficile ! 😢

Area 51

L'irrationnalité de $\pi$ découle de celle de $\zeta(2)$ via : $\displaystyle \left| \pi - \frac{p}{q} \right| = \frac{1}{\left| \pi + \frac{p}{q} \right|} \left| \pi^2 - \frac{p^2}{q^2} \right| > \frac{1}{\left| \pi + \frac{p}{q} \right|} \frac{1}{(q^2)^{11,86}}$.

Successivement, $\displaystyle \left| \pi - \frac{p}{q} \right| > \frac{1}{q^{\delta}}$ pour $\delta = 42$ (Mahler, 1953), puis $\delta = 20,6$ (Mignotte, 1974) pour $q \geq 2$, et plus proche $\delta = 14,65$ (Chudnovsky, 1984) pour $q$ suffisamment grand. Ce qui donne une idée de $\mu$.

dedekind93

Merci Area 51. Je crains qu'il ne faille, même pour une majoration très grossière de $\mu$ (je souhaite uniquement utiliser que $\mu$ est finie), sortir l'artillerie pour $\zeta(2)$ (intégrales multiples, approche de l'article de Beukers). 

Calli

Bonjour,
Ah c'est amusant, je connaissais des publications de Mahler d'une autre nature sur le sujet de l'irrationnalité. https://youtu.be/RlGe8bsdpB8?t=2978

Fin de partie

La mesure d'irrationalité de $\pi$ est au plus 7.103205334137 . . .

Fin de partie

Le papier original de K. Mahler, On the approximation of $\pi$.

dedekind93

Merci Fin de partie pour ces références !