Une question de factorisation

Cidrolin
Modifié (March 2022) dans Arithmétique
Bonjour,
$n$ est un entier naturel différent de $27$. On suppose que $\sigma _2(n)=n^2+2n+37$. Quelle est la factorisation de $n$ ?
$\sigma _2(n)$ désigne la somme des carrés des diviseurs de $n$.

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (March 2022)
    Bonjour,

    $n$ est de la forme $pq$, où $p$ et $q$ sont premiers et $q=p+6$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Cidrolin
    Modifié (March 2022)
    Bravo Rescassol. La propriété caractérise les nombres qui sont le produit d'un couple de nombres premiers sexys.
  • Cidrolin
    Modifié (March 2022)
    On a aussi :
    $\sigma_2(n)=n^2+2n+5 \quad  $ssi $\quad n=8$ ou $n$ est le produit de deux premiers jumeaux.
  • D'une façon générale si $n = pq$ et $q = p + k$ ($p$ et $q$ premiers) alors $\sigma_2(n) = n^2 +2n + k^2 +1$ et si $k$ est de la forme $i(i-1)$, alors $i^3$ vérifie la même équation.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • La note suivante a été publiée dans le Monthly fin décembre 2021.

    A Product of Two Primes with Difference 2

    For a positive integer $n$, the sum of the squares of its divisors is denoted by $\sigma_{2}(n).$
    A positive integer $n$ is called a twin prime product if $n=p(p+2)$ where $p$ and $p+2$ are both primes. In this case,
    $$\sigma_{2}(n)=1+p^{2}+(p+2)^{2}+n^{2}=5+2 p(p+2)+n^{2}=5+2 n+n^{2}$$
    It is somewhat surprising that such quadratic polynomials can almost characterize twin prime products.

    Theorem : For a positive integer $n, \sigma_{2}(n)=n^{2}+2 n+5$ if and only if either $n=8$ or $n$ is a twin prime product.

    Proof. Since $\sigma_{2}(n)=n^{2}+2 n+5=n^{2}+(2 n+4)+1, n$ cannot be 1 , a prime, or a prime square.
    As a result, we can write $n=a b$ for some integers $a$ and $b$ with $1<$ $a<b<n$.
    It follows from the arithmetic-geometric mean inequality that $2 a b<$ $a^{2}+b^{2}$.
    Now, let $S$ be the sum of the squares of the divisors of $n$ other than $1, a, b$, and $n$. Then,
    $$1+a^{2}+b^{2}+S+n^{2}=n^{2}+2 a b+5<n^{2}+a^{2}+b^{2}+5$$Since $S<4$, $S$ must be 0 .
    Thus, $1, a, b$ and $n$ are the only divisors of $n$, and $(a-$ $b)^{2}=4$ which implies that $b=a+2$.
    Note that $a$ cannot have any divisors other than 1 and itself, so $a$ is a prime.
    Consequently, $b$ is a prime or $a^{2}$. If $b=a^{2}$, then $a^{2}=a+2 .$ It follows that $a=2$ and thus $n=8$.

    Submitted by T. Chaobankoh and P. Chomchit, Chiang Mai University, Thailand
    doi.org/10.1080/00029890.2022.2004850
    MSC: Primary 11A41, Secondary 11A25; 22Z22
  • La propriété énoncée par Médiat_Suprème ci-dessus peut s'écrire : 
    si $n$ possède exactement 4 diviseurs, $1<a<b<n$, alors $\sigma_2(n)=(n+1)^2+(b-a)^2$.

    J'ai cherché d'autres cas où $\sigma_2(n)=(n+1)^2+c^2$ avec $c$ entier.

    J'ai trouvé le cas où $n=pqr$ avec $p,q,r$ nombres premiers tels que $p+q=r+1$ (par exemple $3,5,7$) : on a alors $c=1+r+r^2-pq$.

    Mais pour $n<10000$ il y a dix valeurs de $n$ qui n'entrent pas dans les catégories précédentes : $24, 40, 189, 297, 384, 2152, 3625, 4515, 5643, 8715$.

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