Vérifier l'équivalence de mesures

Bonjour,

est-ce qu'il y a une CNS pratique pour vérifier l'équivalence de deux mesures sur un espace localement compact, formulée en termes de fonctions continues positives à support compact ?

Un truc du style : pour tout espace localement compact $X$, pour tout couple de mesures $(\mu_1,\mu_2)$ dessus, $\mu_1$ est équivalente à $\mu_2$ si et seulement si pour toute fonction continue positive $f$ à support compact sur $X$ et à valeurs réelles, on a $blablabla(f,\mu_1) \Leftrightarrow blablabla(f,\mu_2)$ ?

Je me suis dit que j'avais un candidat pour $blablabla(f,\mu)$ : $\int_X f d\mu > 0$. Mais je suis pas sûr. Je croyais que ce genre de chose caractérisait le support des mesures, mais pas la classe d'équivalence, qui est plus fine...

Réponses

  • Salut, 
    Qu'est-ce que tu appelles des "mesures équivalentes" ? 
  • Un détail : il vaudrait mieux que tes mesures soient boréliennes, sans quoi tu n'obtiendras rien comme informations.

    Ensuite tu devrais aller regarder du côté du théorème de Radon-Nikodym. Pour le critère auquel tu pensais j'ai l'impression que c'est bon car la densité $h$ de $\mu_1$ par rapport à $\mu_2$ (et réciproquement) est non nulle presque partout en conséquence de l'équivalence des mesures.
  • Renart
    Modifié (March 2022)
    Calli : D'après ce que j'ai trouvé sur internet $\mu\sim \nu \Leftrightarrow \mu \ll \nu \text{ et } \nu \ll \mu$.

    J'en profite pour rajouter qu'il faudra sans doute vérifier un truc du genre " les fonctions continues sont denses (pour la norme $L^1$) dans les indicatrices", mais j'ai un peu la flemme d'aller chercher dans mon Rudin si les hypothèses de G.A. sur la topologie de $X$ sont suffisantes pour ça :)
  • Merci @Renart. Si c'est ça la définition de l'équivalence, alors la proposition de Georges ne marche pas car un contre-exemple est donné par la mesure de Lebesgue et une mesure atomique donnant une masse non nulle à chaque rationnel. 
  • Oui, l’équivalence est la relation « être absolument continue l’une par rapport à l’autre ». Je parlais effectivement de mesures boréliennes, oui. Et oui Calli, cette condition ne caractérise que le support, en fait.
  • $\mu_1$ et $\mu_2$ sont équivalentes ssi pour tout borélien $B$, $\mu_1(B)=0\Leftrightarrow\mu_2(B)=0$. Mais les fonctions continues prises individuellement ont du mal à cerner précisément les boréliens. Elles voient des choses plus grossières comme les ouverts et les fermés (le support d'une mesure par exemple). Donc, intuitivement, je ne pense pas qu'il existe de CNS sous la forme que tu recherches.
  • Renart
    Modifié (March 2022)
    Effectivement, ça ne donne qu'une égalité de support. Je réessaye, j'espère que cette fois-ci c'est correct. L'idée est de passer la les suites de fonctions continues, pas sûr que ce soit assez pratique pour ce que tu avais en tête ceci dit.
    Proposition :
    Soient $\mu$ et $\nu$ des mesures définies sur une même tribu et données par des formes linéaires $\Lambda_\mu$ et $\Lambda_\nu$ continues et positives sur $C_c(X)$ (je suis allé chercher le Rudin finalement :/). Les conditions suivantes sont équivalentes.
    (1) $\mu\sim \nu$
    (2) Pour toute suite décroissante de fonctions positives $f_n \in C_c(X)$ on a $\lim\int_X f_n \mathrm d\mu = 0 \Leftrightarrow \lim\int_X f_n \mathrm d\nu = 0 $.
    Démonstration :
    Remarque préliminaire, puisque $(f_n)_n$ est décroissante et positive sa limite $f$ existe et est borélienne. De plus les $f_n$ sont dominées par $f_0$ qui est intégrable, on peut donc appliquer le théorème de convergence dominée.

    $(1) \implies (2)$ : Soit $(f_n)_n$ comme il faut avec en plus  $\lim\int_X f_n \mathrm d\mu = \int_X f \mathrm d \mu =  0$, puisque $f$ est positive on en déduit que $f= 0 $ $\mu$-pp d'où $f=0$ $\nu$-pp  et donc $\lim\int_X f_n \mathrm d\nu = \int_X f \mathrm d \nu =  0 $. Comme le rôle de $\mu$ et $\nu$ sont interchangeables cela montre la première implication.

    $(2) \implies (1)$ :  Procédons par contraposée. Comme $\mu$ et $\nu$ sont interchangeables on suppose qu'il existe un ensemble $E$ tel que $\mu(E) = 0$ et $\nu(E) \neq 0$ (et $\nu(E) <\infty$). Par régularité il existe un compact $K\subset E$ tel que $\nu(K) >0$. Toujours par régularité il existe une suite décroissante d'ouverts $U_n$ tels que $E \subset U_n$ et $\lim \mu(U_n) =0$. Par le lemme d'Urysohn il existe des fonctions $g_n \in C_c(X)$ telles que $\chi_K \leq g_n \leq \chi_{U_n}$, on pose alors $f_1= g_1$ et $f_n = \min(f_{n-1},g_n)$ de sorte à ce que $(f_n)_n$ soit décroissante et $\chi_K \leq f_n \leq \chi_{U_n}$. On a alors
    \[ \lim \int_X f_n \mathrm d \mu  \leq \lim \mu(U_n) = 0  \quad \text{et} \quad \lim \int_X f_n \mathrm d\nu \geq \nu(K) >0  \]
    ce qui contredit (2) et termine la démonstration.

    Je crois que j'ai utilisé là $\sigma$-finitude de $X$ en imposant $\nu(E) < \infty$.  Si on reprend l'exemple de Calli mon critère permet bien de distinguer les deux mesures en prenant $f_n : x \mapsto \max(0, 1-nx^2)$ on a $\int f_n \mathrm d \lambda \to 0$ et $\int f_n \mathrm d \mu \to \mu(0) >0$.
  • Ah c'est marrant @Renart, on a eu la même idée avec les suites décroissantes de fonction continues. Mais j'avais l'impression vague que ça ne marcherais pas donc j'ai laissé tomber... Tu me montres que je me trompais. Le truc sur lequel je ne suis pas sûr du tout, c'est les hypothèses éventuellement nécessaires pour que les mesures soient régulières et pour le lemme d'Urysohn ; à vérifier dans les livres.
  • Renart
    Modifié (March 2022)
    @Calli j'ai aussi douté que les suites positives décroissantes soient suffisantes, mais ça a l'air de marcher.
    D'après mon fidèle Rudin (Analyse réelle et complexe) ça semble bon pour les hypothèses. À noter que je ne prends pas n'importe quel type de mesures, uniquement les mesures données par des formes linéaires continues et positives sur $C_c(X)$. Le théorème de représentation de Riesz assure donc la régularité des mesures.
  • @Renart : Merci pour ton MP et pour ce message. J'avais bel et bien vu ta réponse mais j'ai dû passer momentanément à autre chose. Je m'y remets bientôt !
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