Formule sommatoire avec coefficients binomiaux

Clairon
Modifié (March 2022) dans Algèbre

Bonsoir

Qui a une idée de preuve pour la formule suivante (désolée pour tous les paramètres, j'ai la flemme de simplifier)

$$\forall\, p \in \llbracket a , a+b+n-1 \rrbracket, \qquad \sum\limits_{k=0}^{p-a} \binom{a+k-1}{a-1} \binom{b+n-k-1}{b-1} \ =\ \sum\limits_{i=a}^{a+b-1} \binom{p}{i} \binom{a+b+n-1-p}{a+b-1-i}$$

Merci

Clairon

Réponses

  • Sans réfléchir: algorithme de Zeilberger.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (March 2022)
    Bonjour
    En réfléchissant un peu, on voit que les deux sommes comptent le nombre de parties à $a+b-1$ éléments de $\{1,\ldots,a+b+n-1\}$ qui ont au moins $a$ éléments parmi $\{1,\ldots,p\}$.
  • Une petite difficulté pour voir que la première somme compte bien ce que je dis ?
    La somme des entiers du bas des deux coefficients binomiaux est $a+b-2$, il manque un élément pour faire une partie à $a+b-1$ éléments.
    Indice : où est le $a$-ème élément de cette partie (rangée dans l'ordre naturel des entiers) ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.