Formule sommatoire avec coefficients binomiaux
Bonsoir
Qui a une idée de preuve pour la formule suivante (désolée pour tous les paramètres, j'ai la flemme de simplifier)
$$\forall\, p \in \llbracket a , a+b+n-1 \rrbracket, \qquad \sum\limits_{k=0}^{p-a} \binom{a+k-1}{a-1} \binom{b+n-k-1}{b-1} \ =\ \sum\limits_{i=a}^{a+b-1} \binom{p}{i} \binom{a+b+n-1-p}{a+b-1-i}$$
Merci
Clairon
Réponses
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Sans réfléchir: algorithme de Zeilberger.
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BonjourEn réfléchissant un peu, on voit que les deux sommes comptent le nombre de parties à $a+b-1$ éléments de $\{1,\ldots,a+b+n-1\}$ qui ont au moins $a$ éléments parmi $\{1,\ldots,p\}$.
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Une petite difficulté pour voir que la première somme compte bien ce que je dis ?La somme des entiers du bas des deux coefficients binomiaux est $a+b-2$, il manque un élément pour faire une partie à $a+b-1$ éléments.Indice : où est le $a$-ème élément de cette partie (rangée dans l'ordre naturel des entiers) ?
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Bonjour!
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