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Valeur en 2 de fonctions entières

Modifié (March 2022) dans Analyse
Titre initial "$g(2)$ pour $h,g$ fonctions entières satisfaisant $(e^{h(z)}+1)(g(z)+g'(z))=1$."
[Le titre doit être informatif mais court. Le corps du message est là pour les développements. AD]

Bonjour, 
Soient $h,g$ des fonctions entières telles que 
$$(e^{h(z)}+1)(g(z)+g'(z))=1, g(0)=1,g(1)=2-e^{-1}$$
J'ai besoin de $g(2)$. 
J'ai remarqué que $ (e^zg(z))'=\dfrac{e^z}{1+e^{h(z)}}$, alors 
\begin{align*}g(z)&=e^{-z}\int_{0}^z\frac{e^{w}}{1+e^{h(w)}}dw+e^{-z}g(0) \\g(2)&=e^{-2}\int_{0}^2\frac{e^{w}}{1+e^{h(w)}}dw+e^{-2}g(0) \\g(1)&=e^{-1}\int_{0}^1\frac{e^{w}}{1+e^{h(w)}}dw+e^{-1}g(0) \\g(2)&=e^{-2}(\int_{0}^1\frac{e^{w}}{1+e^{h(w)}}dw+ \int_{1}^{2}\frac{e^{w}}{1+e^{h(w)}}dw )+e^{-2}g(0) \\g(2)&=e^{-2}( e^{1}g(1)-g(0)+ \int_{1}^2\frac{e^{w}}{1+e^{h(w)}}dw )+e^{-2}g(0) \\ g(2)&=e^{-1}g(1)+ e^{-2}\int_{1}^2\frac{e^{w}}{1+e^{h(w)}}dw \\\end{align*}
Je veux montrer que $h$ est constant   j'ai essayé sans succès quelqu'un a-t-il une indication à me suggérer ?
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