Subdivision Polytechnique MP 2015 — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Subdivision Polytechnique MP 2015

Modifié (March 2022) dans Analyse
Bonsoir
J'ai réussi la question $1$, pour la question $2$ je ne comprends pas trop comment on en déduit que : $\mathcal V(f)=+ \infty$
Je me dis que c'est une histoire de comparaison, mais le $\mathcal V(f)$ est un sup sur $\sigma$ et non sur $p$... 



Mots clés:

Réponses

  • Modifié (March 2022)
    Pour la question 2 faut trouver une fonction.
    C’est fait à la page 10 
    http://archives.univ-biskra.dz/bitstream/123456789/13717/1/ZEMIT_ANOUAR.pdf#page10
    Pour la question 4 voir page 12 

  • Questions 2 et 3 : $f(0)=0$ et $f(x)=x\cos\dfrac{1}{x}$ sur $]0,1]$.
  • Modifié (March 2022)
    @etanche mon corrigé donne une fonction plus simple pour $Q2$ non continue...

    Merci pour les autres fonctions, mais j'aimerais savoir pourquoi $V(f)=+ \infty$ pour la fonction indicatrice donnée par le corrigé.

    J'ai compris le $V(f,\sigma)=2p$. Mais après je ne comprends pas comment ils en déduisent $\mathcal V(\sigma) \geq 2p$ ni comment ils en déduisent $\mathcal V(f)=+ \infty$.

    Pour la question $3$ je n'ai pas encore cherché. J'essayais de réfléchir depuis quelques heures en faisant autre chose, comment graphiquement on pourrait avoir $\mathcal V(f)=+\infty$ 

    Sans calcul, comment on voit à partir du dessin qu'on aura $\mathcal V(f)= + \infty$ ? L'oscillation tend vers $0$ donc les différences $||f(a_{i+1}-f(a_i)||$ vont être de plus en plus petites, pourquoi la somme tendrait vers plus l'infini ?

  • Sais-tu démontrer que si une suite $(u_n)$ vérifie $\forall n\in \N, u_n\geq n$, alors $(u_n)\to +\infty$ ?
  • Modifié (March 2022)
    Oui. On a $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n= + \infty$ donc par comparaison $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n =+ \infty$
    Mais ici je ne vois pas le lien exact avec les suites car on doit calculer un sup sur les subdivisions $\sigma$.

    Je ne vois pas pourquoi $V(f, \sigma)=2p \implies \sup_{\sigma} V(f,\sigma)  \geq 2p$


  • Bonsoir,

    je mesure 1.80 m, donc la taille du plus grand de ma famille est supérieure ou égale à 1.80 m.
    C'est d'une logique trop difficile pour toi, OShine ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (March 2022)
    @Rescassol si merci. Par définition de la borne sup, on trouve $\mathcal V(f) \geq 2p$ pour tout $p$.
    Comment on en déduit que  $\mathcal V(f) = + \infty$
    Je me dit qu'on passe à la limite quand $p$ tend vers plus l'infini mais qui nous dit que $\lim\limits_{p \rightarrow +\infty} \mathcal V(f) = \mathcal V(f) $ ?
    Etant donné que $\mathcal V(f)$ peut dépendre de $p$... 
    Pour la fonction qui oscille autour de $0$ je ne comprends pas la logique, comment on peut deviner que $\mathcal V(f)$ va être infini ?
  • $V(f)$ ne dépend pas de $p$.
  • Modifié (March 2022)
    O Shine,
    tu reposes la même question que celle que Rescassol a débloquée ! Et la suite montre que tu n'as aucune idée de ce qu'est l'objet dont tu parles, $V(f)$.
    Arrête d'écrire et pense !
  • Modifié (March 2022)
    Je ne suis pas habitué à manipuler des bornes supérieures sur des subdivisions.
    Comment on peut savoir que $\mathcal V(f) $ ne dépend pas de $p$ ?
    V(f) est la somme des écarts entre images de deux images par deux éléments consécutifs du support de la subdivision.
    Je ne comprends pas graphiquement pourquoi si une oscillation devient de plus en plus petite la somme des écarts va tendre vers plus l'infini.
  • Modifié (March 2022)
    C'est hallucinant !
    @Os tu es en forme aujourd'hui. 
     
  • Modifié (March 2022)
    "V(f) est la somme des écarts entre images de deux images par deux éléments consécutifs du support de la subdivision."
    Toujours incapable de lire un énoncé. Il est vrai que cet énoncé ne dit pas tout et qu'il faut un peu (juste un peu) d'intelligence pour le lire. Et pour deviner dans quoi vit $\sigma$.
    Mais comme c'est une question ultra-classique, les candidats à polytechnique devinent tout de suite (et n'ont pas besoin d'aide pour ces questions faciles).
  • Pourriez-vous m'expliquer qui est $\mathcal V(f)$ si je n'ai pas compris ? 

    Comment on peut deviner sur le dessin qu'il sera infini ? 




  • Pourquoi t'aider ? Tu vas ignorer nos conseils, émettre des critiques sur la pédagogie plutôt que de travailler par toi même, et surtout à aucun moment ne montrer de gratitude pour le temps passé à t'aider.
  • Modifié (March 2022)
    Dans l'énoncé c'est $\sigma$ qui dépend de $p$. Donc $V(f,\sigma)$ dépend bien de $p$. Puis $V(f)=\sup_\sigma V(f,\sigma)$ ne dépend plus de $\sigma$, et donc pas de $p$.
    Relis calmement ce que t'a dit Rescassol, puis ce que tu as fait précédemment. Courage.
  • Si $V(f)$ dépendait de $p$, il s'appellerait $V_p(f)$ ou  $V(f,p)$ ou ... ... mais pas $V(f)$
    $V(f)$ dépend de $f$.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Après le massacre qu'a été le sujet d'externe pour toi, pourquoi pas faire un sujet Polytechnique !  :D Tu penses qu'un jour tu changeras?

    Perso si j'étais modérateur je bloquerais tous tes sujets ouverts qui portent sur des énoncés agreg/X/ENS, ça t'éviterait de faire perdre du temps à tout le monde et à toi même
  • @Noobey ce n'est pas un sujet d'écrit de Polytechnique.

    C'est un exercice de mon livre de MP/MP*  sur le chapitre Fonctions vectorielles et au moins j'ai trouvé la première question.

    L'exercice ne m'a pas l'air si infaisable, il faut juste comprendre ce que signifie $V(f)$ pour trouver les exemples et après ça déroule c'est que du calcul. 

    @skazeriahm ok merci. 

    J'ai compris les calculs du corrigé. Chaque $f(a_i)$ donne un élément du support de la subdivision, et comme $[0,1]$ est infini, il y a une infinité d'éléments dans $[0,1]$ donc une infinité de $|f(a_{i+1} -f(a_i)|$ et donc $V(f)$ va être infini.
    J'ai une petite question sur la remarque, je n'ai pas compris pourquoi $\mathcal V(g)= \mathcal V(f)$ ...









  • Modifié (March 2022)
    OShine a dit :
    J'ai compris les calculs du corrigé. Chaque $f(a_i)$ donne un élément du support de la subdivision, et comme $[0,1]$ est infini, il y a une infinité d'éléments dans $[0,1]$ donc une infinité de $|f(a_{i+1} -f(a_i)|$ et donc $V(f)$ va être infini.
    Avec ça  tu n'iras pas loin !
     
  • Modifié (March 2022)
    OShine a dit :
    J'ai compris les calculs du corrigé. Chaque $f(a_i)$ donne un élément du support de la subdivision, et comme $[0,1]$ est infini, il y a une infinité d'éléments dans $[0,1]$ donc une infinité de $|f(a_{i+1} -f(a_i)|$ et donc $V(f)$ va être infini.
    On se demande pourquoi la correction s'embête avec ce $2p$ alors qu'il suffisait d'utiliser le caractère infini de l'ensemble $[0,1]$...
  • Modifié (March 2022)
    Je dis sûrement n'importe quoi mais au moins j'essaie de comprendre comment on trouve les fonctions.
    Quelle est l'idée derrière ces exemples ? Pourquoi il est nécessaire de prendre une fonction qui change une infinité de fois de monotonie ?
  • Tu dis que tu essaies de comprendre. 
    A la fin de l'exercice, tu dis que tu as compris.

    Mais tu n'as pas compris. Comprendre, ce n'est pas ça.

    Quand on comprend un exercice, on devient capable de faire des exercices similaires dans la foulée. On devient capable de refaire l'exercice de A à Z, sans consulter le corrigé.  

    J'espère que tes élèves savent mieux que toi ce que le verbe comprendre veut dire. 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (March 2022)
    "j'essaie de comprendre comment on trouve les fonctions." Non ! tu demandes aux autres au lieu de chercher. Demander ce n'est pas "essayer de comprendre". la preuve : 
    "Quelle est l'idée derrière ces exemples ? Pourquoi il est nécessaire de prendre une fonction qui change une infinité de fois de monotonie ?" Quand on a vraiment compris ce qu'est la variation totale (chose que tu n'as faite !!), on n'a plus besoin des autres pour répondre à ces questions évidentes, on ne pose même pas la seconde ...
    Tu n'essaies jamais de comprendre, ça fait des années qu'on te le dit.
  • Modifié (March 2022)
    @gerard0 merci pour la référence, j'ai trouvé un graphique intéressant sur wikipédia qui explique la notion.

    La question $4$ est vraiment difficile.




  • lol. Tu fais l'exercice d'abord, et ensuite tu cherches la définition.

    Tu devrais faire un one-man-show.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (March 2022)
    Si @gerard0 ne me l'avait pas dit je n'aurais jamais su que c'était la variation totale dont l'exercice parlait.

    J'ai compris la correction de la question $4$ mais je ne vois pas commun quelqu'un peut trouver tout ça tout seul. Il faut penser à trop de choses et avoir des idées brillantes. 

    La question $5$ est aussi ultra dure, l'exo devient clairement infaisable à partir de la question $4$.

    La question $5$, je sais démontrer l'inégalité $\mathcal V(f_{| [a,c]} ) \leq \mathcal V(f_{| [a,b]} ) + \mathcal V(f_{| [b,c]} )$ pour tout $0 \leq a \leq b \leq c \leq 1$  (en utilisant une subdivision adaptée et en passant à la borne supérieure) mais j'ai l'impression que c'est toujours égal graphiquement, je ne vois pas pourquoi c'est inférieur ça ne m'a pas l'air logique d'après le graphique de wikipédia.

    Je ne comprends pas pourquoi $g : x \mapsto  V(f_{| [0,x]} ) $ est croissante je ne vois pas le rapport avec  $\mathcal V(f_{| [a,c]} ) \leq \mathcal V(f_{| [a,b]} ) + \mathcal V(f_{| [b,c]} )$.

    Je bloque sur l'inégalité $\mathcal V(f_{| [0,x]} )  + |y-x| \leq \mathcal V(f_{| [0,y]} ) $ je ne vois pas d'où sort le $|y-x|$  :'(








  • Modifié (March 2022)
    OShine a dit :
    1) La question $5$, je sais démontrer l'inégalité $\mathcal V(f_{| [a,c]} ) \leq \mathcal V(f_{| [a,b]} ) + \mathcal V(f_{| [b,c]} )$ pour tout $0 \leq a \leq b \leq c \leq 1$  (en utilisant une subdivision adaptée et en passant à la borne supérieure) mais j'ai l'impression que c'est toujours égal graphiquement, je ne vois pas pourquoi c'est inférieur ça ne m'a pas l'air logique d'après le graphique de wikipédia.

    2) Je ne comprends pas pourquoi $g : x \mapsto  V(f_{| [0,x]} ) $ est croissante je ne vois pas le rapport avec  $\mathcal V(f_{| [a,c]} ) \leq \mathcal V(f_{| [a,b]} ) + \mathcal V(f_{| [b,c]} )$.

    3) Je bloque sur l'inégalité $\mathcal V(f_{| [0,x]} )  + |y-x| \leq \mathcal V(f_{| [0,y]} ) $ je ne vois pas d'où sort le $|y-x|$  :'(
    Pour 1) on peut démontrer que c'est toujours égal en effet.

    Pour la 2) c'est grave si tu ne vois pas le rapport. Un intervalle peut se découper : genre si $0<x<y$ on a $[0,y]=[0,x]\cup [x,y]$... tu vois maintenant ? 

    Pour la 3) c'est $\mathcal V(f_{| [0,x]} )  + |f(y)-f(x)| \leq \mathcal V(f_{| [0,y]} ) $. Tu bloques toujours ?
  • Modifié (March 2022)
    @OShine j'ai parlé trop vite. En fait j'ai compris pourquoi tu trouves que la 2 n'est pas évidente... c'est parque ce que dans ton cours on ne dit pas qu'en fait il y a égalité $\mathcal V(f_{| [a,c]} ) = \mathcal V(f_{| [a,b]} ) + \mathcal V(f_{| [b,c]} )$. C'est peut-être une coquille d'ailleurs, comme les nombreuses autres coquilles que tu as déjà trouvées :mrgreen:
  • Merci @raoul.S tu as trouvé une coquille que je n'avais pas vue. Le point $2$ devient facile, la point $3$ demande un peu de travail, je ne l'ai pas trouvé immédiatement.

    2) Soit $y>x$. Alors $g(y)-g(x)=\mathcal V(f_{| [0,y]}) -  V(f_{| [0,x]})$

    Or $ V(f_{| [0,y]})= V(f_{| [0,x]}) + V(f_{| [x,y]})$ donc $\boxed{g(y)-g(x)=V(f_{| [x,y]}) \geq 0}$ car on a clairement $V(f_{| [x,y]})  \geq 0$

    3) Soit $\sigma=(a_0, \cdots, a_n)$ une subdivision de $[0,x]$. On pose $\sigma '=(a_0, \cdots, a_n, x,y)$ ce qui est possible car $x<y$, c'est une subdivision de $[0,y]$.

    Donc $V(f_{ | [0,x]}) +V(f_{ | [x,y]}) = V(f_{ | [0,y]})$. Or $V(f_{ | [x,y]}= | f(y)-f(x) |$

    Ainsi, $V(f_{ | [0,x]}) + | f(y)-f(x) | = V(f_{ | [0,y]})$. Mais $V(f_{ | [0,y]}) \leq \mathcal V(f_{ | [0,y]})$

    Soit $ V(f_{ | [0,x]}) \leq  \mathcal V(f_{ | [0,y]}) - | f(y)-f(x) |$

    La borne supérieure étant le plus petit des majorants on a $\boxed{ \mathcal V(f_{ | [0,x]}) \leq  \mathcal V(f_{ | [0,y]}) - | f(y)-f(x) |}$




  • Je me demande comment on peut penser à poser cette application $g$, jamais je n'aurai trouvé ça. 


  • Je ne vois pas où le corrigé utilise le fait que $\mathcal V(f)$ est fini dans la dernière question, il n'utilise pas cette hypothèse.
  • Modifié (March 2022)
    Il utilise la fonction $x\mapsto \mathcal V(f_{ | [0,x]})$. Pour que cette fonction soit bien définie il faut que $\mathcal V(f)$ soit fini autrement on risque d'avoir $\mathcal V(f_{ | [0,x]})=+\infty $ à partir d'une certain $x$.
  • D'accord merci.


  • Modifié (March 2022)
    je n'aurais jamais su que c'était la variation totale dont l'exercice parlait

    Non, mais tut te fous du monde !!!!

    Pour faire un exercice de maths, quel que soit l'exercice :

    Etape 1 : lire l'énoncé, en s'arrêtant avant la première question. Réfléchir à ce qu'on vient de lire, essayer de comprendre à quoi ressemblent tous les objets qu'on vient de définir. 
    Cette étape peut prendre 2 ou 3 minutes si nécessaire. Ou plus sur des exercices de concours. Si tout est clair, si on a bien compris à quoi ressemblent les objets qu'on a définis, tout va bien.

    Etape 2 : on lit les questions.

    Etape 3 : on relit l'énoncé lui-même. Si on avait parfaitement compris l'énoncé à la première lecture, on attaque les questions. Sinon, on marque à nouveau un temps d'arrêt. On ne commence pas la première question immédiatement comme un gamin de 10 ans.
    Et ensuite, on attaque les questions.

    Normalement, avant d'écrire la première ligne, on a déjà compris qu'on parlait de la variation totale. Même un lycéen qui n'a jamais entendu parler de subdivisions le déduit en lisant les 2 premières lignes.
    Un lycéen qui a une méthode de travail.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!