Produit tensoriel et "et" ?
Coucou !
Je voulais faire une "blague" à quelqu'un en lui disant : dans l'isomorphisme (entre espaces de dimension finie) $E^* \otimes F \simeq Hom(E,F)$, remplace la dualité par la négation, le produit tensoriel par "et" et "hom" par "implique" et regarde ce que ça donne !
Quelle ne fut pas ma surprise en voyant que ça donnait... "non E et F = E implique F". C'est quoi cette horreur ? J'ai loupé un épisode ? Pour moi, le produit tensoriel est un "et", mais je me demande si ce n'est pas parce que la mécanique quantique me fait inverser le sens des flèches ou quelque chose comme ça...
Je voulais faire une "blague" à quelqu'un en lui disant : dans l'isomorphisme (entre espaces de dimension finie) $E^* \otimes F \simeq Hom(E,F)$, remplace la dualité par la négation, le produit tensoriel par "et" et "hom" par "implique" et regarde ce que ça donne !
Quelle ne fut pas ma surprise en voyant que ça donnait... "non E et F = E implique F". C'est quoi cette horreur ? J'ai loupé un épisode ? Pour moi, le produit tensoriel est un "et", mais je me demande si ce n'est pas parce que la mécanique quantique me fait inverser le sens des flèches ou quelque chose comme ça...
Réponses
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Il y a un problème très tôt: le corps de base $k$ est une unité pour $\otimes$, donc c'est "vrai" ($E\otimes k = E$, "E et vrai = E"); donc tu ne peux pas avoir à la fois "$Hom(E,F)$ = E implique F" et "$E^*$ = non E", puisque $E^* = \hom(E,k)$ se doit d'être "E implique vrai", i.e. aucune information.
En disant ça, je vois que même ça c'est un problème: "aucune information et F" ne doit pas donner "E implique F" :-D Il n'est pas impossible que ce truc force "vrai = faux". Enfin peut-être qu'il n'y a ni "vrai" ni "faux", et que donc $E^*$ ne soit juste pas "non E" mais simplement "E implique k" (et on sait pas qui est "k"). cf. la logique minimale je crois, où tu as un "non" relatif défini par "$\neg_C P := P\implies C$". -
Oui, tu as raison, y a rien qui va… Bon, il y a aussi le « et » qui n’est pas du tout idempotent. Mais bon, c’est bizarre quand même. Maintenant que tu m’as dit ça, je crois que je voudrais que $k$ soit vrai et faux en même temps. Mais en fait, je croyais que tout ça, c’était des bases de la logique linéaire et que je m’étais trompé de convention, mais en fait non…
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Non, "et" qui n'est pas idempotent c'est pas tant un souci : en logique linéaire on ne peut ni dupliquer des hypothèses (pas de $A\to A\otimes A$) ni les jeter (pas de $A\otimes B\to A$) en général.
Pour la logique linéaire, oui, c'est un peu bizarre, je ne sais pas non plus. Si Christophe passe... peut-être que c'est juste une logique minimale et qu'on n'a donc ni vrai ni faux, et que des "non" relatifs ? Cette affaire de $E^*\otimes F\to Hom(E,F)$ est quand même inquiétante :-D -
Concernant cette heuristique, je suis étonné qu'on veuille assimiler le produit tensoriel à un "et". J'aurais plutôt volontiers choisi le "ou", ce qui semble régler le problème avec l'implication. (Et dans ce cas il faut considérer que $k$ est FAUX.)
Mon idée c'est que le produit tensoriel est construit à partir du produit cartésien qui, lui-même, se définit via l'union en théorie des ensembles.
Bon cela dit, je suis peut-être dans la divaguation complète. -
Ben Cyrano, ça dépend comment on le voit. J'espère ne pas écrire de trop grosses bêtises.
1) Soient $X$ et $Y$ des ensembles finis. Appelons $X$ l'ensemble des "chaussettes" et $Y$ celui des "carottes". Est-ce que tu es d'accord que "une chaussette et une carotte", c'est un élément de $X\times Y$ ?
2) Toujours avec les mêmes notations, si on note $C(X)$ (et $C(Y)$, pareil) l'espace des fonctions $X \rightarrow k$, alors $C(X) \otimes C(Y)$ s'identifie naturellement à $C(X\times Y)$. De ce point de vue, le produit tensoriel est un "et".
3) Toujours avec les mêmes notations, alors $C(X) \oplus C(Y)$ s'identifie naturellement à $C(X\cup Y)$ (on suppose que la réunion est disjointe) et de ce point de vue, la somme directe est un "ou".
4) Soient $E,F,G$ des espaces vectoriels sur un corps $k$. Soit $\phi \in Hom(E,Hom(F,G))$. L'application $\hat{\phi} : E\times F \rightarrow G$ définie par $(u,v) \mapsto \phi(u)(v)$ est bilinéaire, et donc donne une $\overline{\phi} : E\otimes F \rightarrow G$. L'application $\phi \mapsto \overline{\phi}$ envoie donc $Hom(E,Hom(F,G))$ vers $Hom(E\otimes F,G)$. D'autre part, si $\psi : E\otimes F \rightarrow G$ est une application linéaire, on définit $\psi_* : E\rightarrow Hom(F,G)$ définie par $u \mapsto (v \mapsto \psi(u\otimes v))$. Alors $\overline{\cdot}$ et $\cdot_*$ sont réciproques l'une de l'autre.
Et là, l'analogie avec la logique est plus claire : si on remplace $\otimes$ par "et" et $Hom$ par "implique", ou plutôt, "si... alors", ça donne :- si ($E$ et $F$) alors $G$
- si $E$, alors si $F$ alors $G$
PS : Max, si tu as des choses à redire, n'hésite pas ! -
Tu as raison, je regrette mon post où j'ai clairement eu le nez dans le guidon à cause de cet isomorphisme $E^* \otimes F \simeq Hom(E,F)$. Mais maintenant je comprends mieux pourquoi ces analogies logiques élégantes ne fonctionne pas pour cet isomorphisme-là. En réalité il ne s'agit pas du tout d'un isomorphisme naturel ! En effet ce qui est sous-entendu, c'est la chose suivante $$E^* \otimes F = Hom(E,k) \otimes F \simeq Hom(E,k\otimes F) \simeq Hom(E,F).$$ En réalité, on utilise ici sans le dire la formule $$Hom(A,B)\otimes C \simeq Hom(A,B\otimes C).$$ Bien entendu cette formule est fausse et archi-fausse en général. Elle peut en revanche devenir vraie sous certaines hypothèses particulières. Ici la condition de finitude sur la dimension fait le job. Mais donc au final cette formule n'est qu'un artefact, signe que tu as sûrement choisi un contexte trop restreint alors que tes analogies logiques sont juste valables dans le cadre général.
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Cyrano : tu as tout à fait compris, mais je tiens juste à revenir sur "le produit tensoriel est construit à partir du produit cartésien" : il faut bien voir qu'il s'agit d'une construction purement ensembliste, elle est là pour justifier que le produit tensoriel existe; mais en réalité ("algébriquement" si tu veux), produit tensoriel et cartésien n'ont quasiment rien à voir. Bon, tu le sais certainement , mais je précise quand même.
Quant à l'isomorphisme $E^*\otimes F = \hom(E,F)$, il est certes faux en général (en général, le domaine s'identifie aux morphismes de rang fini), mais on peut le rendre vrai en rajoutant des choses (genre compléter, et prendre uniquement des opérateurs compacts ou que-sais-je si on est, disons, dans un contexte de Banach). Cela dit je pense que tu as raison. Si $k=$ faux, alors le morphisme $E^*\otimes F\to \hom(E,F)$ se traduit par "si $E$ implique faux et $F$, alors $E$ implique $F$", ce qui est... tout à fait raisonnable (et en dimension finie, on a un ssi mais cela relève plus d'une bizarrerie de la dimension finie).
Cela dit cette interprétation manque d'un point crucial (qui fait que je pense toujours qu'il nous manque une pièce du puzzle), à savoir que si $k=$ faux, on devrait avoir $k\to F$ pour tout $F$ (et c'est ce morphisme qui devrait induire $E^*\to \hom(E,F)$ : si $E$ est faux, alors $E$ implique $F$), or il n'y a pas de tel morphisme naturel sauf le morphisme nul. Mais si on autorise le morphisme nul, on est dans de beaux draps puisqu'alors $E\to F$ pour tous $E,F$. Donc on se rapproche mais on n'y est pas tout à fait :-D -
Oui, il y a quand même un morphisme naturel $E^* \otimes F \rightarrow Hom(E,F)$ et je suis d'accord que sa surjectivité en dimension finie ou dans des cadres topologiques convenables est exceptionnelle (tout comme la surjectivité de $E \rightarrow E^{**}$ en dimension finie, puisqu'il n'existe pas de flèche naturelle $E^{**} \rightarrow E$ non nulle - enfin, je crois que j'y avais réfléchi et que j'y croyais mais je vais revérifier). On peut peut-être démontrer qu'il n'y a pas de morphisme naturel non nul $Hom(E,F) \rightarrow E^* \otimes F$ ? J'y réfléchirai un peu aussi.
En fait je suis quand même content que l'application qu'on pourrait appeler d'<<utilisation de ressource>> de $E \otimes Hom(E,F)$ vers $F$ (linéarisée de l'application bilinéaire qui à $(u,\phi)$ associe $\phi(u)$) donne un morphisme naturel non nul (et au passage, si $k = faux$, ça donne bien une belle flèche $E \otimes E^* \rightarrow k$ et donc "si $E$ et $non(E)$ alors faux").
Mais attends, Max, pourquoi voudrais-tu $k \rightarrow F$ ? Si on interprète $faux$ comme "tout", ça jette "presque tout" (sauf $F$) à la poubelle (je crois qu'on n'a pas le droit de jeter en logique linéaire).
EDIT : Mince, par contre, il y a quand même le morphisme naturel $E \rightarrow E\otimes k$ qui envoie $u$ sur $u \otimes 1$. Ca ne va pas du tout, ça !
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Georges : pour $E^{**}\to E$, tu as tout à fait raison, c'est un exercice amusant d'ailleurs :-D
C'est vrai aussi pour $\hom(E,F)\to E^*\otimes F$, c'est d'ailleurs (je crois) plus simple dans ce deuxième cas (en tout cas ma preuve en est plus simple).
Tu as aussi raison pour $k\to F$, on ne peut effectivement pas jeter ... Mais $E\to E\otimes k$ (et en fait $E\iff E\otimes k$) semble être un problème... Quoique tu n'as toujours pas accès à "tout" puisque tu ne peux pas jeter $E$. Mais un peu bizarre :-D
(il faut se souvenir que ce n'est censé être qu'une sémantique de la logique linéaire, et pas une sémantique complète. enfin, je crois) -
Et si on oublie complètement $k$ ? C'est le fait qu'il ait un "1" bien déterminé (hahahaha) qui permet $E \to (E\otimes k)$ et sa réciproque ! Mais par contre, il pourrait y avoir plein de "sous-faux" de la forme $E^* \otimes E$.
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Comment ça, oublier $k$ ? Si tu oublies $k$, $E^*$ n'a plus de raison d'être "non E" :-D
Enfin peut-être peux-tu préciser ce que tu veux dire ? -
Ben on regarde la catégorie de tous les $k$-ev... sauf $k$ lui-même hahahaha !
Et $E^*$ a quand même une raison d'être $non(E)$ si on dit qu'on est dans un paradigme où on ne peut ajouter d'hypothèses que si elles sont fausses, genre l'application $f \mapsto (\alpha \otimes u \mapsto \alpha(u)f)$ de $F \to ((E^* \otimes E) \to F)$.
Et puis il y a la transposée $Hom(E,F) \to Hom(F^*,E^*)$ qui fait penser à la contraposée...
On peut prendre des $k$-ev de dimension $1$, mais pas $k$ lui-même parce qu'il a une base privilégiée qui donne l'isomorphisme $E \otimes k \simeq E$.
Et sinon, sur des anneaux non unitaires $R$, est-ce qu'il y a des isomorphismes naturels de $R$-modules $M \simeq R \otimes_R M$ ?
EDIT : Parenthèses manquantes. -
Pour ta question plus générale, non, c'est un type particulier de module. En fait tu as toujours un morphisme distingué $R\otimes_R M\to M$ (l'action, tout simplement), et on s'intéresse typiquement aux modules pour lesquels c'est un iso, mais ce n'est pas tous (prendre un module non nul où $R$ agit nullement).
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