Limite fonction (Polytechnique)

etanche
Modifié (February 2022) dans Analyse
Bonjour 

$f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ de classe $C^1$ telle que $f’^2 + f^3$ tend vers $0$ en $+\infty$ 
Calculer les limites de $f$ et $f’$ en $+\infty$.
Merci.
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Réponses

  • Une piste à creuser : on sait que $f$ est solution de $f'^2+f^3=g$ avec $g$ qui tend vers $0$ en $+\infty$. On pourrait alors essayer d'écrire $f$ en fonction de $g$, appliquer la méthode de variation de la constante,...
    J'essayerai de m'y atteler plus tard.
    Bon courage.
  • On peut démontrer que la limite sup de f est nulle. A voir comment démontrer que aussi sa limite inf est nulle
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • La limite sup n'est pas hors programme de classe préparatoires ? 

    Il y a qu'aux ENS qu'ils font du hors programme non ? 
  • gebrane
    Modifié (February 2022)
    Si tu trouves mieux, vas-y Oshine .
    Je préfère qu'on me donne un 0 en étant hors programme que de mériter un 0 en ne faisant rien.
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Ils disent que les élèves ont le droit d'utiliser du hors programme à condition de démontrer le résultat. 
  • zeitnot
    Modifié (February 2022)
    Petit troll, ta signature est un paradoxe gebrane ?
    Si on aide un bœuf à se lever, alors il ne se lève pas seul.
    C'est comme si tu m'aides à faire un exercice seul, du coup je ne le fais pas seul.
    Et la suite de la phrase est bizarre aussi "s'il s'efforce de le faire lui même", en fait c'est le principe de faire seul.
    La phrase qui fonctionne : un bœuf se lève seul s'il le fait lui-même sans aide.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Si, si: les limites sup et inf sont bel et bien au programme de l’école Polytechnique mais uniquement celle de Lausanne !
  • gebrane
    Modifié (February 2022)
    Oshine, je te démontre sous forme d'un exercice que  $\displaystyle\limsup_{x\to +\infty} f(x)=0$
    On note $a=\displaystyle\limsup_{x\to +\infty} f(x)$
    1) Cherche la définition de $a=\displaystyle\limsup_{x\to +\infty} f(x)$  ( On connait bien la limite sup d'une suite, ici  c'est la limite sup d'une fonction)
    2) Montre que $a\leq 0$
    Supposons par l'absurde que $a<0$
    3) Montre que pour x assez grand que $f(x)<\frac a 2<0$
     4) Montre  qu'il existe $b>0$ tel que  pour x assez grand $(f'(x))^2  >b$ (en choisissant un bon $\epsilon$ dans la définition de la limite de $f'^2+f^3$ est nulle).
    5)En utilisant le TVI, montre que pour x assez grand ,   $f'$ garde un signe constant . De  manière plus précis montre que  pour x assez grand :
    soit $f'(x)  >c>0$  ou bien  f'(x)<c<0  ( avec c à chercher)
    6) En déduire que f admet une limite en $+\infty$
    7) démontre que cette limite est finie
    8) démontre aussi que f' admet une limite finie en $+\infty$
    9) trouve une contradiction  après avoir démontrer ce lemme si f et f' admettent des limites finies en $+\infty$, alors nécessairement f' tend vers 0 en en $+\infty$
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • bd2017
    Modifié (February 2022)
    Bonjour
    @Gebrane, je trouve que le point délicat dans ta démonstration  est le point 7.  Pour être plus précis, il s'agit du cas  où   $f'(x)<c<0$  pour $x$ assez grand  (i.e $x>A$).
    Dans ce cas, on a alors $f(x)$   qui tend vers $-\infty.$ Ensuite tu affirmes que la limite est finie, autrement dit le cas que j'évoque n'est pas possible.
    Bien entendu, je pense que c'est vrai. Mais pour cela, je compare l'équation différentielle (mise sous forme résolue) avec  une autre équation différentielle, qu'on sait résoudre et qui explose en temps fini.
    Ma question est donc : est-ce bien cela que tu utilises ou bien utilises-tu un raisonnement un peu plus simple ?
     
  • gebrane
    Modifié (February 2022)
    @bd2017  utilises-tu un raisonnement un peu plus simple ?
    Oui  et il repose sur deux arguments, je te donne pour commencer le premier argument
    On choisit $1<a<\frac 32$. Vois-tu que pour x assez grand , on a $|f'(x)|>|f(x)|^a$ ?
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Merci @Gebrane, j'ai compris.  Effectivement c'est plus simple.  On en déduit que $\ln(|f(x)|> c|f(x)|^{a-1} , (c>0 $ et $x$ assez grand)   ce qui n'est pas possible.... 
     
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