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Somme partielle et nombre d’or

Modifié (February 2022) dans Analyse
Bonjour 

Montrer que 
$\sum_{k=1}^{n} \lfloor \frac{F_k}{\varphi F_k - F_{k+1} } \rfloor = (-1)^{n+1}F_n F_{n+1}$ 

où $\varphi$ le nombre d’or et $F_k$ la suite de Fibonacci 

Merci
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Réponses

  • Avec la formule de Binet, $F_n=\dfrac{\varphi^n-(-1/\varphi)^n}{\sqrt5}$, on montre que $\dfrac{F_n}{\varphi F_n-F_{n+1}}=(-1)^{n+1}F_{2n}+r_n$ avec $0<r_n<1$.

    Toujours avec la formule de Binet, on montre que $(-1)^{n+1}F_{2n}=(-1)^{n+1}F_n(F_{n+1}+F_{n-1})$.

    Le résultat s'en déduit par une simple récurrence.
  • Oui ça marche avec la formule de mon ami Binet https://fr.wikipedia.org/wiki/Jacques_Philippe_Marie_Binet
  • @jandri : Ou une petite somme télescopique à la place de la récurrence pour conclure. o:)
  • La morale de l'histoire; quand on ne veut pas se casser la binette il vaut mieux convoquer ce bon vieux Jacques. :)
  • @MrJ : mon idée de départ était de faire une démonstration par récurrence mais une somme télescopique est effectivement plus élégante.
  • Cette identité $F_{2n}=F_n(F_{n+1}+F_{n-1})$ a un nom !  https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number#d'Ocagne's_identity


    Le 😄 Farceur


  • L'identité d'Ocagne est plutôt celle-ci : $F_mF_{n+1} - F_n F_{m+1} = (-1)^n F_{m-n}$.

    YvesM l'avait utilisée dans le fil Somme d’une série.
  • Modifié (February 2022)
    On est fasciné par le nombre d'identités vérifiées par la suite de Fibonacci. Je n'avais pas repéré cette identité d'Ocagne $F_mF_{n+1} - F_n F_{m+1} = (-1)^n F_{m-n}$.  Je traitais autrement la série citée par Jandri.
    Je suis très heureux de voir évoquer Maurice d'Ocagne (1862-1938), ingénieur et mathématicien, auteur notamment de Hommes & choses de science, Propos familiers, Vuibert 1938. C'est un recueil d'articles sur divers sujets, biographies, mais aussi « Femmes de science », qu'on peut relire aujourd'hui avec intérêt.
    Cette identité d'Ocagne est vraie a priori pour  $m \in \mathbb N$,  $n \in \mathbb N$,  $m \ge n$, mais on peut définir la suite de Fibonacci $F_n$ pour tout $n \in \mathbb Z$, simplement et naturellement en prolongeant à tout $n \in \mathbb Z$ la relation de récurrence $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$, d'où successivement : $F_1=F_0+F_{-1}$,  $F_0=F_{-1}+F_{-2}$, etc., et l'on voit vite que $F_{-n}=(-1)^{n+1} F_n$. Alors cette identité d'Ocagne devient vraie pour tout   $m \in \mathbb Z$ et tout $n \in \mathbb Z$. Et j'ai l'impression qu'il en est de même de toutes les identités « fibonacciennes ».
    Par ailleurs, je suis surpris qu'on ne fasse pas plus mention d'une autre identité à deux variables, que je trouve très utile :  $F_m F_n+ F_{m+1}F_{n+1}=F_{m+n+1}$, et dont je ne connais pas le nom - si elle en a un.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Modifié (February 2022)
    Et j'aimerais savoir dans quel écrit de Maurice d'Ocagne on trouve pour la première fois cette identité qui porte son nom. Peut-être dans un des articles que D'Ocagne a fait paraître dans le Bulletin de la toute jeune Société mathématique de France, à la fin du XIXème siècle ?
  • Modifié (February 2022)
    Apparemment en 1889 
    https://hsm.stackexchange.com/questions/2974/history-of-the-docagnes-identity-for-fibonacci-numbers

    Une généralisation de l’identité d’Ocagne voir la proposition 5 
    https://arxiv.org/pdf/2201.06269.pdf
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