Valeurs d'adhérence d'une suite récurrente

adrien2019
Modifié (February 2022) dans Topologie
Bonjour à tous
Je me pose la question suivante: soit $F$ un fermé de $\mathbb{R}$. Existe-t-il une suite RÉCURRENTE dont $F$ soit l'ensemble des valeurs d'adhérence? Je précise que la question porte sur une suite seulement supposée récurrente, pas forcément linéaire et sans hypothèse particulière sur la fonction associée à cette suite récurrente (elle peut par exemple être non continue).
Même question en dimension supérieure à 1.
Je n'ai pas trop d'idée pour le moment, et je vous remercie d'avance pour votre aide !
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Réponses

  • Barjovrille
    Modifié (February 2022)
    Bonsoir,
    pour la dimension 1
    je lance des idées je sais pas si ça t'avance ou pas.
    si ton ensemble $F$ est vide et que tu n'autorises pas $\infty$ comme valeur d'adhérence tu poses $u_0=0$ et $u_{n+1}= u_n + 1$
    si ton ensemble $F$ est fini  donc de la forme $F=\{a_1,...,a_k\}$ tu poses $u_1=a_1$ et tu pose $u_{n+1}=f(u_n)=a_{(n - k \lfloor n/k \rfloor) +1}$
    en gros ta suite aura cette tête la $(a_1,a_2,...,a_k,a_1,a_2,...,a_k,a_1,a_2...,a_k,......)$.

    Si ton ensemble $F$ est dénombrable donc de la forme $F=\{a_n,n \in \mathbb{N}\}$ on raisonne de façon similaire au cas précédent je ne sais pas si on peut l'exprimer avec une fonction ? mais la suite sera définit de cette façon
    $u_1=a_1~~ u_2=a_1 ~u_3 = a_2 ~~ u_4= a_1 ~u_ 5=a_2 ~u_6= a_3$
     la suite aura cette tête la $(a_1,a_1,a_2,a_1,a_2,a_3,a_1,a_2,a_3,a_4,....)$ (on fait des cycles  de plus en plus grands en augmentant la taille du cycle de 1 par rapport au cycle précédent) comme ça toute les valeurs de $F$ apparaissent une infinité de fois et on peut donc trouver des extractions pour toute valeur de $F$.

    maintenant si $F$ est infini et  indénombrable $F \bigcap \mathbb{Q}$ est dense dans $F$ et $F \bigcap \mathbb{Q}$ est dénombrable donc on peut se ramener au cas précédent tu construis la même suite adapté pour $F \bigcap \mathbb{Q}$ et par densité l'adhérence de la suite sera égale à $F$.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (February 2022)
    @Barjovrille : Pour la dernière étape $F\cap\Q$ peut être vide. Cependant, comme $\R$ est séparable, c’est aussi le cas de $F$ : il existe une partie dénombrable $X\subset F$ tel que l’adhérence de $X$ est $F$.
  • Toute suite peut s'écrire comme une suite récurrente.


  • Héhéhé a dit :
    Toute suite peut s'écrire comme une suite récurrente.

    Ca va tout de même être compliqué de trouver $f$ vérifiant $\forall n\in \N, u_{n+1}=f(u_n)$ si $u$ est la suite $(0,1,0,2,0,3,...)$
  • Bonjour,

    Une suite récurrente peut être définie par une relation de la forme $u_{n+1}=f(u_0,...,u_n)$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Dom
    Dom
    Modifié (February 2022)
    J’ai un souci. Je vois « suite récurrente » comme quelque chose de plus générale que $u_{n+1}=f(u_n)$ dans cette question. 
    Par exemple, je vois plutôt $u_{n}=f(u_1,…,u_{n-1},n)$. J’ai bien mis $n$ à la dernière place.
    Mais je ne suis pas au point sur la nomenclature officielle. Dites-moi tout. Je m’égare certainement. 
  • Barjovrille
    Modifié (February 2022)
    @MrJ Ah je me suis dis que si $F$ fermé indénombrable il allait intersecter $Q$, pour trouver un contre exemple il faut prendre un ensemble comme celui de Cantor? C'est vrai que pour éviter de se poser ce genre de question c'est plus simple de passer directement par la séparabilité.
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (February 2022)
    J'imagine qu'un ensemble de Cantor doit marcher comme contre-exemple, mais ça ne me parait pas totalement trivial non plus (car ils contiennent certains rationnels en général). J'imagine que ce n'est pas trop difficile, mais je ne les manipule pas assez souvent pour trouver une réponse rapidement.
  • JLapin
    Modifié (February 2022)
    adrien2019 a dit :
    Bonjour à tous
    Je me pose la question suivante: soit $F$ un fermé de $\mathbb{R}$. Existe-t-il une suite RÉCURRENTE dont $F$ soit l'ensemble des valeurs d'adhérence?

    Oui, on peut trouver une telle suite, on peut même la construire constituée de réels deux à deux distincts, de sorte qu'on peut définir une fonction $f$ telle que $\forall n\in \N, u_{n+1}=f(u_n)$ mais très franchement, l'intérêt d'une telle fonction ne me saute pas aux yeux. Le problème est déjà difficile sans cette contrainte. Sais-tu le résoudre ? Ce n'est pas très clair dans ton message.
  • adrien2019
    Modifié (February 2022)
    Bonsoir,
    Merci pour vos réponses! Pour préciser, je pensais à une relation de type $u_{n+1} = f(u_n)$. Mais on peut déjà se poser la question avec une suite $u_n = f(u_1 , u_2 , \ldots , u_{n-1} , n)$.
    Si l'espace est séparable, il y a peut-être un moyen pour régler le cas des suites de type $(u_1 , u_1 , u_2 , u_1 , u_2 , u_3 , \ldots)$: on note $a_n$ le $n$-ième terme de cette suite. On prend alors, pour tout $n$, $(a_{n,k})$ une suite de termes deux à deux distincts et qui converge vers $a_n$. On doit même pouvoir s'arranger pour prendre les $a_{n,k}$ deux à deux distincts pour tout $(n,k)$ (il faudrait voir si c'est vraiment utile).
    Et on prend $f$ telle que $f(a_{1,1}) = a_{2,1}$, $f(a_{2,1}) = a_{1,2}$, $f(a_{1,2})=a_{2,2}$, $f(a_{2,2}) = a_{3,1}$, $f(a_{3,1}) = a_{1,3}$, etc...
    Edit : est-ce qu'en faisant cela je ne risque pas par contre de créer de nouvelles valeurs d'adhérence qui ne seraient pas dans $F$ ?
  • JLapin
    Modifié (February 2022)
    Mais c'est vraiment la fonction $f$ qui t'intéresse ou juste l'existence d'une telle suite ?
  • Je revois ma copie : 
    J’ai parlé d’une fonction $f$ qui selon la valeur de $n$, prendrait un nombre d’arguments variable (égal à $n$… ce n’est pas très sérieux… 
    Ou alors c’est une fonction qui prend en argument, une suite… 
    Non, disons-le, j’ai raconté n’importe quoi, enfin j’ai au moins très mal présenté les choses. 


  • @JLapin c'est l'existence d'une suite RÉCURRENTE, donc l'existence d'une fonction $f$.
    Après plus on en discute, plus je me demande si déjà l'existence d'une suite tout court (pas forcément récurrente) dont l'ensemble des valeurs d'adhérence est $F$ est si évidente que ça... donc peut-être qu'on peut commencer par discuter de l'existence d'une telle suite si cela n'est effectivement pas évident.
  • @Dom pour résoudre votre problème de "présentation des choses", on pourrait peut-être prendre une fonction de deux variables: $u_{n+1} = f(u_n , n)$. C'est vraiment le cas de l'existence d'une fonction d'une seule variable qui m'intéresse, mais est-ce que ce que je propose résoudrait votre problème?
  • @adrien2019 il me semble que Barjovrille a déjà répondu à la question ICI. Il faut tenir compte de la petite correction donnée par MrJ juste en dessous.
  • Dom
    Dom
    Modifié (February 2022)
    Oui, oui, c’est plutôt à ça que je pensais finalement. 
    Désolé d’avoir pollué un peu le fil.
  • @raoul.S désolé j'avais en effet un peu oublié cette réponse. Par contre je ne comprends pas comment on traite le cas "$F$ infini dénombrable". Dans l'exemple de @Barjovrille , on a $u_1 = a_1$, $u_2 = a_1$ , $u_3 = a_2$ , donc $f (a_1)=a_1$ mais aussi $f(a_1)=a_2$, ce qui pose problème si $a_1 \neq a_2$, non?
    Y a-t-il bien un problème et si oui je n'ai pas compris comment on s'en sort...
  • Oui effectivement là il faut utiliser une récurrence du type $u_{n+1}=f(u_0,...,u_n)$.
  • Barjovrille
    Modifié (February 2022)
    @adrien2019 En fait j'ai  plutôt répondu à la question trouver une suite dont l'ensemble des valeurs d'adhérences est égale à $F$. D'ailleurs tu peux remarquer que la méthode marche en dimension n quelconque sur des R ev ou C ev,  et on peut utiliser la même méthode en dimension infinie si l'espace est métrique et séparable.  Et le problème c'était d'écrire cette suite sous forme de suite récurrente ce qui est compliqué par ce que toutes les valeurs de $F$ vont se répéter une infinité de fois donc si tu essaye de trouver $f$ tel que  $u_{n+1}=f(u_n)$ tu auras un coup $f(a_4)= a_1$ et un coup $f(a_4)= a_5$ comme tu la remarqué et ça pour toutes les valeurs que la suite va prendre.

    @raoul.S  Est ce que c'est légal de définir une fonction comme ça ? Le nombre d'argument de $f$ change à chaque $n$ comme  @Dom la remarqué.
    On pourrait s'inspirer de la définition wikipédia de suite récurrente on fixe $p\in \mathbb{N}$
    et on trouve $f$ tel que $u_{n+p}=f(u_n,...,u_{n+p-1})$  un peu comme une  fenêtre glissante.
    Mais ça m'a l'air compliqué quand même.
    @adrien2019 Est ce que tu as un but précis ou c'est juste par curiosité ?
  • raoul.S
    Modifié (February 2022)
    Barjovrille a dit :
    @raoul.S  Est ce que c'est légal de définir une fonction comme ça ? Le nombre d'argument de $f$ change à chaque $n$ comme  @Dom la remarqué.
    Ce n'est pas un problème, $f$ est une fonction de $\bigcup_{n\in \mathbb{N}} \mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$.
  • adrien2019
    Modifié (February 2022)
    @Barjovrille Le problème est plus par curiosité qu'ayant un but précis (je m'intéressais aux valeurs propres d'une suite récurrente et la question m'est venue comme ça).
    Pour le cas $F$ dénombrable, plus j'y réfléchis et plus je me dis la chose suivante: si on essaye de faire une suite RÉCURRENTE dont l'ensemble des valeurs d'adhérence soit $F$, alors on ne peut pas considérer une suite uniquement à termes dans $F$, car chaque terme devrait alors être atteint une infinité de fois pour être valeur d'adhérence, ce qui pose alors un problème de définition de $f$ comme on l'a vu plus haut. Il faut donc qu'il y ait une infinité de termes de la suite $(u_n)$ dans $E \setminus F$.
    Oui mais voilà : $F$ étant fermé, on était sûr, lorsque l'on prenait $(u_n)$ à termes dans $F$, que toute limite d'une suite de valeurs d'adhérences de $(u_n)$ serait un élément de $F$. Comme maintenant on est forcés d'avoir une infinité de termes dans $E \setminus F$, et comme $E \setminus F$ n'est pas fermé, est-ce qu'il serait possible (si $F$ était un fermé "pathologique") une situation où il serait impossible d'avoir uniquement $F$ dans les valeurs d'adhérences (autrement dit, où on aurait, quelle que soit la suite récurrente $(u_n)$, une valeur d'adhérence dans $E \setminus F$) ?
    J'ai l'impression aussi que ce problème serait lié au fait que, la suite étant récurrente, les $u_n$ devrait être deux à deux distincts... est-ce que quelqu'un a une idée là-dessus ?
  • Il y a bien un moyen de construire une suite de termes deux à deux distincts qui convient. Il suffit en gros de prendre une suite qui convient et de perturber des décimales lointaines pour rendre les termes deux à deux distincts et ne pas changer l'ensemble des valeurs d'adhérence.
  • @JLapin c'est justement sur la possibilité de faire ce que vous proposez sans ajouter de valeurs d'adhérences non désirées que j'ai des doutes... Pourriez-vous dire plus précisément comment vous procéderiez?
  • Pomme de terre
    Modifié (February 2022)
    @adrien2019 Par exemple, étant donnée une suite $(x_n)_{n\in \N}$ de réels, on définit par récurrence une suite $(\epsilon_n)_{n\in\N}$ de réels tels que :
    $$\forall n\in \N,\ \forall k \in \{0,\dots,n-1\},\quad x_k + \epsilon_k \neq x_n + \epsilon_n \text{ et } 0 \leq \epsilon_n \leq \frac1{n+1}.$$
    Puisque $(\epsilon_n)$ tend vers $0$, on aura pour toute extraction $\varphi$  et tout $\alpha \in \R$,
    $$x_{\varphi(n)} + \epsilon_{\varphi(n)} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \alpha \iff x_{\varphi(n)}  \xrightarrow[n\to+\infty]{} \alpha.$$
  • Bonjour c'est une question de logique et de topologie. L'ensemble des valeurs d'adhérence de toute suite est dénombrable, or il existe des fermés F non dénombrables (un exemple a été donné dans ce fil)...ce qui règle la question posée.
  • Sans aller dans les détails je crois qu'on peut s'en sortir comme ça : soit $F$ un fermé de $\R$ et $(a_n)$ une suite dense de $F$ (qui existe car $F$ est séparable). On peut supposer évidemment que les $a_n$ sont deux à deux distincts. On a deux cas : 

    1) tous les points de $F$ sont des points d'accumulation. Dans ce cas la suite $(a_n)$ fait l'affaire et on peut la définir par récurrence.

    2) $F$ a des points isolés. Les points isolés sont forcément dans $\{a_n\mid n\in \N\}$. Dans ce cas il faut ajouter à $(a_n)$ d'autres suites qui convergeraient vers chacun des points isolés. Il n'y a qu'un nombre dénombrable de suites à ajouter car les points isolés sont dénombrables. On imagine facilement un moyen de définir une unique suite par récurrence qui contient tous les termes de chaque suite définie ci-dessus et qui contient les $a_n$. Par construction l'ensemble des valeurs d'adhérence de cette suite est $F$.
  • Pomme de terre
    Modifié (February 2022)
    @AlainLyon Je crois que tu confonds avec autre chose : si $(q_n)_{n\in\N}$ est une énumération de $\Q$, l'ensemble des valeurs d'adhérence est $\R$.
  • oups, mal dormi. Mais justement si on énumère les rationnels d'un fermé on obtient un fonction d'énumération (au sens de la théorie des ensembles) et donc une suite récurrente. Après cela il faut savoir si un fermé F de $\mathbb{R}$ est l'adhérence de ses rationnels, c'est faux s'il y a des points isolés mais comme il y a un nombre dénombrable de points isolés, on crée par énumération une deuxième suite récurrente. On a deux suites récurrentes on fabrique un suite dont les termes pairs sont ceux de la première suite et une suite dont les termes impaires sont ceux de la deuxième. Cette suite est récurrente en choisissant la fonction d'énumération qui va bien. Tout cela me semble un exemple d'application de topologie (points isolés d'un Fermé) et de l'axiome du choix dénombrable pour la fonction d'énumération qui va bien.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (February 2022)
    Dom a dit :
    Je revois ma copie : 
    J’ai parlé d’une fonction $f$ qui selon la valeur de $n$, prendrait un nombre d’arguments variable (égal à $n$… ce n’est pas très sérieux… 
    Ou alors c’est une fonction qui prend en argument, une suite… 
    Non, disons-le, j’ai raconté n’importe quoi, enfin j’ai au moins très mal présenté les choses. 
    Tu peux en effet prendre une fonction $f$ dont le domaine est l'ensemble des suites finies de réels.

    Sinon, je pense que la définition la plus générale de "fonctions récursive" serait les fonctions définies par le théorème de récursion transfinie sur le bien-fondé $(\omega,\in)$. En gros : $(\forall n\in \omega) u(n)=f(n,u\restriction _n)$.

    $\omega $ étant le plus petit ordinal infini indentifié à $\mathbb N$, et $f$ serait défini ici sur $\omega \times \bigcup \{ \mathbb R ^n\vert n\in \omega\} $
  • raoul.S a dit :
    Barjovrille a dit :
    @raoul.S  Est ce que c'est légal de définir une fonction comme ça ? Le nombre d'argument de $f$ change à chaque $n$ comme  @Dom la remarqué.
    Ce n'est pas un problème, $f$ est une fonction de $\bigcup_{n\in \mathbb{N}} \mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$.
    Ah, tu avais déjà réglé le problème. J'aurais dû lire tous les commentaires avant d'écrire.
  • babsgueye
    Modifié (March 2022)
    Salut.
    Je ne suis pas expert en la matière, mais pourquoi ne pas prendre simplement :smile:
    $F =\{0\}$ et $u_0 = 0,\,u_1 = 1\,\textrm{et}\,u_{n+2} = \left\{\begin{array}& u_n,\, \textrm{si $n$ pair}\\u_n + 2,\;\textrm{sinon}\end{array}\right.$
    Merci.
  • raoul.S
    Modifié (March 2022)
    Tu réponds à la question initiale là ? Car si oui alors il faudrait la relire... $F$ est imposé tu ne peux pas le choisir.

    PS. c'est difficile de sortir de Shtam hein ? :mrgreen:
  • raoul.S a dit :
    Barjovrille a dit :
    @raoul.S  Est ce que c'est légal de définir une fonction comme ça ? Le nombre d'argument de $f$ change à chaque $n$ comme  @Dom la remarqué.
    Ce n'est pas un problème, $f$ est une fonction de $\bigcup_{n\in \mathbb{N}} \mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$.
    Justement @raoul.S, là je ne vois toujours pas comment tu peux définir ta fonction. Un petit exemple stp ?
  • babsgueye
    Modifié (March 2022)
    @raoul.S $F$ est un fermé, alors $\mathbb{R}\setminus F$ est un ouvert. Je pense qu'en prenant un élément de $F$ à la place du $0$ et en s'inspirant de l'exemple que j'ai donné, il est toujours possible de trouver une suite récurrente simple qui va.
    J'entre pas dans des détails, c'était juste une excursion hors de Shtam :smile:
  • On va encore s'enliser dans une discussion sans fin sans se comprendre. Pour être plus clair, si $F$ est l'intervalle $[0,1]$, comment tu fais pour définir ta suite dont les valeurs d'adhérence sont $[0,1]$ ?

    PS1. je pars du principe que tu te souviens de ce qu'est l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite...

    PS2. pour la fonction de ce message elle ne répond de toute façon pas aux contraintes (une seule variable) donc je ne vais pas la définir.
    1. Pour $F=\mathbb N$, on peut facilement trouver (et exprimer)une fonction de récurrence, telle que $u_{n+1} = f(u_n)$ dont les valeurs d'adhérence soient $\mathbb N$
    2. L'existence d'une telle fonction dans le cas général de $X$ (cf. message de MrJ Valeurs d'adhérence d'une suite récurrente — Les-mathematiques.net) est garantie par l'idée exprimée par PommeDeTerre (Valeurs d'adhérence d'une suite récurrente — Les-mathematiques.net)
    3. Exprimer cette bijection me paraît très très compliqué, voire plus
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Ben j'ai mal lu @raoul.S, j'avais compris que les valeurs d'adhérence sont dans $F$ et pas forcément $F$ tout entier. Mais est-ce que tu peux répondre à ma question dans un de mes messages précédents (j'en ai pas beaucoup posté). Merci.
  • babsgueye a dit :
    j'avais compris que les valeurs d'adhérence sont dans $F$ et pas forcément $F$ tout entier. 
    Quel serait l'intérêt d'une question aussi trivialement triviale ?
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • babsgueye a dit :
    Mais est-ce que tu peux répondre à ma question dans un de mes messages précédents (j'en ai pas beaucoup posté). Merci.
    Si tu y tiens mais ça n'a aucun intérêt. Dans le message en question $F=\{a_1,a_2,...\}$ était dénombrable et Barjovrille proposait de définir la suite $u$ comme $u_1:=a_1,u_2:=a_1,u_3:=a_2,u_4:=a_1,u_5:=a_2,u_6:=a_3,u_7:=a_1,u_8:=a_2,u_9:=a_3,u_10:=a_4,....)$, je ne vais pas l'expliciter on a compris ça donne $(a_1,a_1,a_2,a_1,a_2,a_3,a_1,a_2,a_3,a_4,....)$.

    On peut définir cette suite via une fonction de récurrence $f:\bigcup_{n\in \mathbb{N^{*}}} \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ de la façon suivante : pour tout $n\geq 1$ et $(x_1,...,x_n)\in \mathbb{R}^n$, $f(x_1,...,x_n):=u_{n+1}$ si $(x_1,...,x_n)=(u_1,...,u_n)$ et $0$ sinon. Il est évident que $f$ vérifie $u_{n+1}=f(u_1,...,u_n)$ pour tout $n\geq 1$ 🙄.

    Mais ça n'a aucun intérêt vu que quelle que soit la suite de départ on peut toujours faire cette construction...
  • babsgueye
    Modifié (March 2022)
    Je suis désolé et je ne veux pas polémiquer, mais @raoul.S, tu n'as rien dit ici sur comment tu définis $f$. C'est @Barjovrille qui a fait tout le travail. Pourquoi tu te bases sur ce qu'il a fait ? Tu dois plutôt nous sortir une fonction récurrente $f$ qui donne son résultat.
  • Non non, ce n'est pas une polémique c'est une incompréhension de ta part. Franchement je ne vois pas pourquoi je devrais te faire le résumé de ce fil, tu n'as qu'à le lire depuis le début pour voir les échanges où je suis intervenu et comment je suis intervenu.

    Je vais néanmoins te répondre une dernière fois pour te résumer l'échange et pourquoi j'ai évoqué cette fonction. C'est Barjovrille qui a défini cette suite ICI, ce n'est pas moi. Ensuite ICI j'ai fait remarquer à l'initiateur du fil, que Barjovrille avait répondu à sa question initiale vu qu'il semblait ne pas en avoir tenu compte.

    Ensuite ICI l'initiateur du fil me fait remarquer que la suite de Barjovrille ne peut pas être définie par une fonction de récurrence $f:\R\to \R$ (en tout cas c'est comme ça que j'ai compris son commentaire). Et je lui dit qu'effectivement on ne peut pas, il faut se satisfaire d'une définition par récurrence à l'aide d'une fonction $f:\bigcup_{n\in \mathbb{N^{*}}} \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ qui est évidemment idiote comme celle que j'ai indiquée dans mon message précédent.

    Voilà, je m'arrête là car on s'éloigne du sujet...
  • Je polémique pas, c'était juste une question parce que le fait que le nombre d'arguments change me posait problème.
    J'ai un peu regardé l'exemple de @Barjovrille dont tu parles et je constate que la fonction évolue comme :smile:
    $u_{1,1} = 1,\,u_{2,1} = 1,\,u_{2,2} = 2,\,u_{3,1} = 1,\,u_{3,2} = 2,\,u_{3,3} = 3,\,u_{4,1} = 1,\,u_{4,2} = 2,\,u_{4,3} = 3,\,u_{4,4} = 4,\,u_{5,1} = 1,\,u_{5,2} = 2\cdots$
    et je pense qu'on peut définir cette suite comme suit :smile:
    $\forall n\in\,\mathbb{N}^*,\,u_{n,1} = 1\,\textrm{et}\,\forall j\leq n,\,u_{n,j} = u_{n-1,j-1} + 1$.
    Qu'en pensez-vous ?
    Cordialement
  • OK mais là tu définis la suite des indices de la suite de Barjovrille, pas la suite elle-même. De toute façon ça ne répond pas non plus à ce qui est demandé.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (March 2022)
    @babsgueye :
    Exercice facile : expliciter une fonction $f$ telle que la suite $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ ait $\mathbb N$ tout entier pour valeurs d'adhérence
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (March 2022)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    La suite $u$ n'est pas formellement définie, tu ne peux donc définir $f$ à partir de $u$. 
    C'est la suite $u$ qui sera définie à partir de $f$, pas l'inverse.
    Donc, il faut que tu définisse $f$ sans faire intervenir $u$.
  • babsgueye
    Modifié (March 2022)
    Ok, il faut indicer par les $u_{n,j}$ alors. Veux-tu dire que la suite de @barjovrille ne répond pas à ce qui est demandé @raoul.S ?
    @Médiat_Suprème c'est pas un exercice facile, c'est un exercice à connaitre. J'ai un problème sur les indices, sinon je reprends presque ce que j'ai fait ci-haut.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (March 2022)
    Si,  si, très facile quand on connaît un tout petit peu la notion de valeurs d'adhérence (et c'est forcément votre cas puisque que vous êtes intervenu sur ce fil) et un minimum de mathématique (et c'est forcément votre cas, sinon vous ne posteriez pas régulièrement des "preuves").
    Si c'est un exercice connu, je dois admettre mon ignorance, je n'en avais jamais entendu parler.

    Allez-vous répondre à ma question ou vous défiler une fois de plus ?
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • raoul.S
    Modifié (March 2022)
    Igbinoba a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2345714/#Comment_2345714
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    La suite $u$ peut être définie formellement il n'y a aucun problème.

    La question est : étant donnée la suite $u$ ci-dessus est-ce qu'on peut définir $u$ à l'aide d'une fonction de récurrence à une variable ? Dit autrement est-ce qu'il existe une fonction $f:\R\to \R$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ ? et la réponse est évidement non vu la tête de la suite $u$.

    Par contre on peut la définir avec une fonction $f:\bigcup_{n\in \mathbb{N^{*}}} \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$. Cette fonction est évidemment "débile" (cf. ma définition plus haut) mais c'est bien une fonction définie formellement quoi qu'on en dise. Même si dans sa définition elle fait intervenir $u$, elle est bien définie.
  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (March 2022)
    désolé, il semble que je n'ai pas été assez attentif,  mais dans ce cas il suffit de poser $f(x_0;...;x_n):=u(n+1)$
    Autrement dit $f(v):=u(dom(v))$.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • je propose  une solution simple  du problème initiale à savoir trouver $(v_n)$ et  $f$ tel que $v_{n+1}= f(v_n)$ ayant pour valeur d'adhérence $F$ dans le cas où $F$ est un ensemble abstrait fermé dénombrable (les autres cas se déduisent de celui la). En prenant les notations précédentes et les doubles indices pour que ça soit plus clair.
    En reprenant l'idée de Pomme de terre.
    On pose $u_1^1 = a_1 +1$    $u_1^2= a_1+ \frac{1}{2}$     $u_2^2=a_2 + \frac{1}{2}$  $u_1^3= a_1 + \frac{1}{3}$ $u_2^3= a_2 + \frac{1}{3}$
    etc

    donc $f(u_k^n)= u_{k+1}^n=a_{k+1} + \frac{1}{n} $ si $k< n$ et $f(u_n^n)= u_1^{n+1}= a_1 + \frac{1}{n+1}$

    maintenant on pose $v$ la suite qui numérote les $u_k^n$ 
    donc $v$ sera de cette forme $(u_1^1,u_1^2,u_2^2,u_1^3,....)$

    et on a $v_{n+1}=f(v_n)$


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