Une équation à résoudre dans $\N^2$

Sara1993
Modifié (February 2022) dans Arithmétique
Bonjour, 
il s’agit de trouver tous les entiers naturels $r$ et $s$ tels que $2^r + 3^s -57$ est un carré parfait.
j’ai montré que $r\geqslant 1$ et que $s\geqslant 1$, et j’ai montré que $r$ et $s$ ne peuvent être tous les deux pairs en utilisant la congruence modulo $3$, mais je n’ai pas pu avancer plus que ça. 
Est-ce que vous pouvez m’aider à trouver toutes les valeurs de $r$ et $s$ ?

Réponses

  • Chaurien
    Modifié (February 2022)
    Ça rappelle l'équation de Nagell-Ramanujan-Lebesgue, en plus compliqué :s .
  • Je commence à perdre espoir alors.
  • Attention, je ne suis pas spécialiste, c'est juste une impression. Peut-être si tu nous disais d'où vient cette curieuse équation, on pourrait trouver des pistes. Et il n'est pas nécessaire d'espérer pour entreprendre.
  • Cette histoire de "r et s ne peuvent être à la fois pairs" n'a pas de fondement.

    Les premières solutions sont :
    $r=2,s=6$ qui donnent  $2^2+3^6-57=26^2$
    $r=6,s=2$ qui donnent  $2^6+3^2-57=4^2$
  • marco
    Modifié (February 2022)
    Il y a aussi $2^0+3^4-57=5^2$.
  • L'étude modulo 3 et 4 montrent rapidement que r et s sont pairs et la dernière donne une info sur le carré.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Tout d’abord, je n’ai pas de source précise pour cette équation, elle a circulé entre les groupes d’étudiants et m’est parvenu.
    Par ailleurs, j’ai commis l’erreur de croire que r et s ne peuvent être à la fois tous les deux pairs. Merci de m’avoir corrigé ceci.
    pour le reste, je ne sais toujours pas par quelle piste peut-on aborder cette équation pour trouver toutes ses solutions et savoir si elles sont en nombre fini ou pas.
  • Math Coss
    Modifié (February 2022)
    Pas d'autre solution pour $r,s<5000$ que les trois déjà citées : $2^0+3^4-57=5^2$, $2^2+3^6-57=26^2$, $2^6+3^2-57=4^2$.

  • Je suis vraiment désolée, c’est plutôt 5^s et non 3^s , et c’est pour cela que j’ai trouvé que r et s ne peuvent être à la fois pairs.
    je m’excuse pour cette erreur . 
  • marco
    Modifié (February 2022)
    Il y a au moins cette solution $2^5+5^2-57=0^2$
  • Je répète que Sara1993 devrait nous donner tous les détails sur l'origine de ce problème, le cadre dans lequel il se pose, le niveau auquel il faut l'attaquer.
    D'une façon générale, c'est la moindre des choses de donner tous les détails concernant un problème pour lequel on demande une aide.
  • Plus de solutions : [(3, 4), (5, 2), (5, 3), (7, 3), (8, 3), (11, 3)].
  • Bonjour

    A propos de $57$, ses exégètes confirmeront peut-être, Grothendieck serait célèbre, entre autres, pour avoir dit un jour: "prenez un premier, $57$, par exemple".

    Cordialement
    Paul
  • Quentino37
    Modifié (February 2022)
    Une petite piste (pas forcément une bonne piste :) : on résout l'équation $A+B-57=r^2$
    Puis après on prend les $\log_2(A)$ et $\log_3(B)$ tels que $\log_{2}(A)\in \mathbb{N}$ et $\log_{3}(B)\in \mathbb{N}$.
    Je suis donc je pense 
  • Bonjour,
    Cet exercice a circulé entre les étudiants se préparant aux concours d’entrée aux grandes écoles d’ingénieurs. Sinon aucune autre information que je possède.
  • depasse
    Modifié (February 2022)
    Bonjour
    Je n'ai pas trouvé l'astuce nécessaire pour résoudre cette équation ($2^r+3^s -57=a^2$) un jour d'oral !
    Un indice aurait été le bien venu mais la pauvre Sara n'en a pas.
    Je raconte mes élucubrations bien qu'aucune ne soit concluante.
    On montre en regardant modulo $3$ et $4$ que $r$ et $s$ sont pairs (déjà dit par Médiat-Suprême),  puis, en regardant modulo $5$ que $r=s [4]$ et que si $r=s=0 [4]$, alors $a=0[5]$; enfin $a$ est pair sauf si $r=0$.
    $r=2r', s=2s'$
    On trouve les trois solutions déjà données en regardant $r', s' \leq 3$ et on montre qu'en ce dernier cas il n'y en a pas d'autre.
    Je n'ai pas cherché plus que ça du côté des congruences, peut-être à mon grand tort.
    Désormais, $r',s' >3$
    $2^r+3^s -57=a^2$ se réécrit $(a-2^{r'})(a+2^{r'})=3(3^{2s'-1}-19)$
    Bizarre ce $19$. Bon, c'est $3^5- 2^5 \times 7$ et donc
     $(a-2^{r'})(a+2^{r'})=3(3^{2s'-1}-19)=3(3^{2s'-1}-3^5+ 2^5 \times 7)=3(3^5(3^{2(s'-3)}-1)+ 2^5 \times 7)$.

    À nouveau désolé, quand je tape sur Aperçu, voilà tipa que je retrouve encadrées des choses dont je n'ai pas demandé qu'elles le soient. Et qui restent en Latex !  Merci Alain pour ton aide ! D'autre part, je ne vois pas mon nom apparaître comme d'habitude.
    Je continue demain.
    Cordialement
    Paul
  • Médiat_Suprème
    Modifié (February 2022)
    Cela marche mieux avec quelques accolades   $(a-2^{r'})$  :    (a-2^{r'}) à la place de  $(a-2^r')$.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Bonjour

    $v$ est la $2$valuation.
    En utilisant les faits:

    $v(3^{2n}-1)=v(n)+3$
    $v(x^2-y^2)$ impair implique $v(x)=v(y)$,

    je crois savoir montrer que s'il y a d'autres solutions que les trois déjà citées, c'est que $s=-2 [16]$.

    Je dois partir et ne reviens que lundi.
    Cordialement
    Paul
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