Une variante du problème de la collection des vignettes

Je propose l'exercice suivant, en espérant qu'il renouvellera le problème bien connu du collectionneur de vignettes.

Un éditeur diffuse, sous pli fermé, des photos de mathématiciens célèbres, formant une collection de $N$ éléments. Il ne prétend pas qu'au moment de l'achat, les photos sont équiprobables ; nous désignons donc par $p_1,\,\dots,\,p_N$ les probabilités respectives d'obtenir à l'achat chacun des $N$ portraits possibles.
a) Montrer que, après $n\geqslant1$ achats, l'espérance du nombre de photos différentes obtenues est
\[C_n=\sum_{k=1}^N\big(1-(1-p_k)^n\big)\]
b) Pour $n\geqslant2$ fixé, pour quelle distribution des $p_k$ cette espérance est-elle maximale ?
c) Pour la distribution ainsi obtenue, à partir de quelle valeur $n_0$ de $n$ l'espérance $C_n$ est-elle $\geqslant N-1$ ? Donner une estimation de $n_0$.

Réponses

  • jandri
    Modifié (February 2022)
    Merci pour cette variante du problème des vignettes.
    Le (a) se fait de tête quand on connait l'astuce pour le calcul.
    Pour le (b) j'utilise une fonction concave. Le (c) n'est pas difficile. 
  • Merci, Jandri ! C'est exactement ce que j'aurais donné comme indication si l'on m'en avait demandé... D'ailleurs, sans dévoiler davantage l'astuce, je dirai ce que j'ai toujours dit à mes élèves : si l'on vous demande directement de calculer l'espérance d'une v.a., il n'est pas certain que vous deviez au préalable en déterminer la loi.
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