Intervertir la dérivée partielle et l'opération de moyennage dans le cadre du $\chi^2$

fabio1234
Modifié (February 2022) dans Statistiques
Titre initial "Expression d'un élément d'une matrice de Fisher : moyenne des dérivées et la derivée des moyennes"
[Le titre doit être court et informatif. Privilégier le corps du message pour les détails ! :)AD]

Bonjour
En utilisant la formule générale d'une Likelihood à partir d'un modèle théorique et $\lambda_{i}, \lambda_{j}$ considérés comme paramètres dont on veut estimer l'erreur sur sur la valeur fiducielle, on peut écrire la définition d'un élément $(i, j)$ de la matrice de Fisher $F$ :
$$F_{i j}=\left\langle-\frac{\partial^{2} \ln (\mathcal{L})}{\partial \lambda_{i} \lambda_{i}}\right\rangle=\left\langle\frac{\partial \ln (\mathcal{L})}{\partial \lambda_{i}} \frac{\partial \ln (\mathcal{L})}{\partial \lambda_{j}}\right\rangle$$
Nous faisons une hypothèse forte en considérant la likelihood $\mathcal{L}$  Gaussienne, reliant le $\chi^{2}$ avec l'élément de la matrice de Fisher $F_{ij}$ :
$$\chi^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_{i}-\bar{x}_{i}}{\sigma_{i}}\right)^{2} \Rightarrow \ln (\mathcal{L})=-\frac{1}{2} \chi^{2}+K \text { with } K \text { a constant }$$
On a donc :
$$\begin{aligned}
F_{i j} &=\sum_{k=1}^{n} \sum_{k^{\prime}=1}^{n}\left\langle\frac{\left(x_{k}-\bar{x}_{k}\right)\left(x_{k^{\prime}}-\bar{x}_{k^{\prime}}\right)}{\sigma_{k}^{2} \sigma_{k^{\prime}}^{2}} \frac{\partial x_{k}}{\partial \lambda_{i}} \frac{\partial x_{k^{\prime}}}{\partial \lambda_{j}}\right\rangle \\
&=\sum_{k=1}^{n} \sum_{k^{\prime}=1}^{n} \delta_{k k^{\prime}} \frac{1}{\sigma_{k}^{2} \sigma_{k^{\prime}}^{2}}\left\langle\left(x_{k}-\bar{x}_{k}\right)\left(x_{k^{\prime}}-\bar{x}_{k^{\prime}}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial \lambda_{i}} \frac{\partial x_{k^{\prime}}}{\partial \lambda_{j}}\right\rangle \\
&=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sigma_{k}^{2}}\left\langle\frac{\partial x_{k}}{\partial \lambda_{i}} \frac{\partial x_{k}}{\partial \lambda_{j}}\right\rangle \\
\text { since } &:\left\langle(x-\bar{x})^{2}\right\rangle=\sigma^{2}
\end{aligned}$$
En prenant des notations générales $x \equiv\left\{x_{1}, . ., x_{n}\right\}$ and $\bar{x} \equiv\left\{\bar{x}_{1}, . ., \bar{x}_{n}\right\}$, on peut écrire :
$$-\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \lambda_{i}}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\left(x_{k}-\bar{x}_{k}\right)}{\sigma_{k}^{2}} \frac{\partial x_{k}}{\partial \lambda_{i}}$$
So :
$$\begin{aligned}
F_{i j} &=\sum_{k=1}^{n} \sum_{k^{\prime}=1}^{n}\left\langle\frac{\left(x_{k}-\bar{x}_{k}\right)\left(x_{k^{\prime}}-\bar{x}_{k^{\prime}}\right)}{\sigma_{k}^{2} \sigma_{k^{\prime}}^{2}} \frac{\partial x_{k}}{\partial \lambda_{i}} \frac{\partial x_{k^{\prime}}}{\partial \lambda_{j}}\right\rangle \\
&=\sum_{k=1}^{n} \sum_{k^{\prime}=1}^{n} \delta_{k k^{\prime}} \frac{1}{\sigma_{k}^{2} \sigma_{k^{\prime}}^{2}}\left\langle\left(x_{k}-\bar{x}_{k}\right)\left(x_{k^{\prime}}-\bar{x}_{k^{\prime}}\right) \frac{\partial x_{k}}{\partial \lambda_{i}} \frac{\partial x_{k^{\prime}}}{\partial \lambda_{j}}\right\rangle \\
&=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sigma_{k}^{2}}\left\langle\frac{\partial x_{k}}{\partial \lambda_{i}} \frac{\partial x_{k}}{\partial \lambda_{j}}\right\rangle
\end{aligned}$$
car : $\left\langle(x-\bar{x})^{2}\right\rangle=\sigma^{2}$
Je voulais simplement quelles sont les conditions requises pour échanger l'opération de moyenne avec la derivée partial dans la définition d'un élément de matrice de Fisher utlisant le chi2, c'est-à-dire :
$$\chi^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_{i}-\bar{x}_{i}}{\sigma_{i}}\right)^{2} \Rightarrow F_{i j}=\frac{1}{2}\left\langle\frac{\partial^{2} \chi^{2}}{\partial \lambda_{i} \lambda_{i}}\right\rangle$$
En effet, si je rajoute une observable suppélemntaire appelée '$O$ dans le $\chi^2$, j'aurais la définition suivante du nouveau $\chi^2$ :
$$\chi^{2}=\left(\left(x_{1}-\mu_{1}\right),\left(x_{2}-\mu_{2}\right) \ldots\left(O-\mu_{O}\right)\right)^{T} \operatorname{Cov}^{-1}\left(\left(x_{1}-\mu_{1}\right),\left(x_{2}-\mu_{2}\right) \ldots\left(O-\mu_{O}\right)\right)$$
avec la matrice de covariances des observables
$$\mathbf{C o v}^{-1}=\left[\begin{array}{rrrrrr}
x_{11} & x_{12} & x_{13} & \cdots & x_{1, n-1} & 0 \\
x_{21} & a_{22} & x_{23} & \cdots & x_{2, n-1} & 0 \\
x_{31} & a_{32} & x_{33} & \cdots & x_{3, n-1} & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & 0 \\
x_{n-1,1} & x_{n-1,2} & x_{n-1,3} & \cdots & x_{n-1, n-1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1}{\sigma_{0}^{2}}
\end{array}\right]$$
Je cherche à prouver que je peux inververtir, dans la formule :
$$F_{i j}=\frac{1}{2}\left\langle\frac{\partial^{2} \chi^{2}}{\partial \lambda_{i} \lambda_{i}}\right\rangle$$
de manière à pouvoir écrire :
$$F_{i j}=\frac{1}{2}\left\langle\dfrac{\partial \chi^{2}}{\partial \lambda_{i}}\right\rangle\,\left\langle\dfrac{\partial \chi^{2}}{\partial \lambda_{j}}\right\rangle=\frac{1}{2}\dfrac{\partial \left\langle\chi^{2}\right\rangle}{\partial \lambda_{i}}\,\dfrac{\partial \left\langle\chi^{2}\right\rangle}{\partial \lambda_{j}}$$
Si je peux intervertir l'opération de moyennage et la dérivée partielle par rapport à $\lambda_i$ et $\lambda_j$, alors je réussi à prouver qu'il n'y a que des zéros sur la ligne et colonne supplémentaire excepté pour le dernier élément diagonal.
Mais quelles sont les conditions nécessaires pour intervertir ?
Quelqu'un pourrait m'aider à prouver cette interversion si les choses sont correctes dans mon raisonnement, et si c'est possible, quelles sont les conditions requises ?
Merci par avance pour votre aide.

Réponses

  • fabio1234
    Modifié (February 2022)
    J'aimerais que ce post soit déplacé dans la catégorie "statistiques" ou "probabilités", je me rends compte que je ne suis pas dans le bon forum.
    Merci par avance.
  • Ta question sera aussi incomprehensible apres changement de forum. Parler d'information de Fisher suppose la description preliminaire du modele statistique. Dans ton texte y a des $x_i$ et des $\sigma_i $ qui se balladent sans qu'on sache leur relation avec le parametre $(\lambda_1,\ldots, \lambda_n)$. Et qu'est ce qui est suppose gaussien?
  • fabio1234
    Modifié (February 2022)
    @P. J'ai tenté de reformuler ma problématique en essayant d'être un peu plus clair (en corrigeant aussi quelques coquilles).
    Merci.
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