Réseaux de $\Q^n$

OShine
Modifié (February 2022) dans Algèbre
Bonjour
Je bloque sur la question $36$, j'ai cherché une bonne demi-heure mais je n'ai pas réussi. 
Question $35$ : 
  • $0 \in R$.
  • Soient $(x,y) \in R^2$. Alors $x=\displaystyle\sum_{i=1}^m k_i v_i$ et $y=\displaystyle\sum_{i=1}^m l_i v_i$. Alors $x+y= \displaystyle\sum_{i=1}^m (k_i+l_i) v_i \in R$ car $\forall i \in [|1,m|] \ k_i +m_i \in \Z$
  • Soit $x=\displaystyle\sum_{i=1}^m k_i v_i$ alors $-x=-\displaystyle\sum_{i=1}^m k_i v_i \in R$ car $\forall i \in [|1,m|] \ -v_i \in \Z$.
$\boxed{ R \ \text{ est un sous-groupe additif de } (\Q^n,+) }$
Question $36$ : 
Si $n=1$ alors $v_1, \cdots, v_m \in Q$. Ainsi, $R=\Z v_1+ \cdots + \Z v_m$ 
Soit $x \in R$ alors $x=k_1 v_1 + \cdots + k_m v_m$.

«13

Réponses

  • bisam
    Modifié (January 2022)
    Connais-tu les sous-groupes de $(\Z,+)$ ?
    Connais-tu la démonstration ?
    Quel est le rapport avec la question posée ?
    PS. Sans avoir aucune idée de comment démontrer l'existence, il est facile de répondre à la question sur l'unicité.
  • OShine
    Modifié (January 2022)
    Oui ce sont les $n \Z$ avec $n \in \N^{*}$ cf cours de MP.
    Oui je connais l'idée de la démonstration avec la division euclidienne.
    Je ne vois pas le rapport avec la question posée.
    Je ne vois pas comment répondre à la question sur l'unicité.
  • raoul.S
    Modifié (January 2022)
    @OShine tu prends un nombre $r$, tu traces une droite graduée et tu mets des points là où se trouvent les nombres appartenant à $r\Z$. Tu vois immédiatement s'il y a unicité ou pas de $r$ et surtout ça va peut-être t'inspirer pour répondre à la question principale...
  • OShine
    Modifié (January 2022)
    Il me semble que $r$ est unique.
    Car si $r=1/3$ alors $r\Z=\{ 0 ,1/3,2/3,1,4/3, \cdots \}$
    On ne peut pas refaire cette liste identique avec un autre rationnel. 
  • Non, $r\Z\neq\{ 0 ,1/3,2/3,1,4/3, \cdots \}$.
  • Pourtant si $\dfrac{1}{3} \Z= \{ \dfrac{k}{3} | \ k \in \Z \}$ donc ça donne bien ma liste.
  • La liste que tu as affichée c'est plutôt $r\N$...
  • Oui erreur d'étourderie. 
  • Je ne comprends pas le rapport avec $(\Z, +) $.


  • Dans $(\Z, +)$ les sous-groupes sont du type $r\Z$ avec $r\in \Z$. Il faut s'inspirer de cette preuve et l'adapter à ton cas.
  • J'ai essayé mais je n'ai pas réussi, la démonstration sur les sous-groupes de $(\Z,+)$ utilise une division euclidienne, ici je ne peux pas faire la division euclidienne par $r$ car $r$ est rationnel pas forcément un entier.


  • raoul.S
    Modifié (January 2022)
    Oui c'est pour ça qu'il faut adapter la preuve. Donc il faut que tu comprennes la vraie "stratégie" de la preuve dans $(\Z,+)$ et que tu la répètes ici. Tu verras que le fait qu'on ait plus des entiers n'a aucune importance.
  • Il faut montrer que les sous-groupes de $(\Q,+)$ sont de la forme $r \Z$ avec $r \in \Q$ ? 
  • skazeriahm
    Modifié (January 2022)
    OShine,
    est-ce que $\Q$ est de cette forme ?
  • OShine
    Modifié (January 2022)
    Non.
    Je ne comprends rien à cette question. Je connais la preuve avec les sous-groupes de $(\Z,+)$ mais je ne sais pas l'adapter ici.
  • raoul.S
    Modifié (January 2022)
    Que les sous-groupe engendrés par un ensemble fini d'éléments, comme dans l'énoncé ($v_1,...v_m$ engendrent ton sous-groupe) sont de cette forme. Tu vois bien que $(\Q,+)$ est un sous-groupe de $(\Q,+)$ et pourtant il n'est pas de cette forme...

    Bon finalement adapter le preuve de $\Z$ ça complique. Il y a plus simple. 

    Pour tout $k=1..m$, soient $p_k,q_k$ des entiers tels que $v_k=\dfrac{p_k}{q_k}$.

    1) Réécris $k_1v_1+...+k_mv_m$ en mettant tout sous le même dénominateur.
    2) En regardant le numérateur et en utilisant le résultat connu pour $(\Z,+)$ conclure.
  • D'accord merci.

    Soit $x \in R$. 

    On a $x=\displaystyle\sum_{i=1}^m k_i v_i = \displaystyle\sum_{i=1}^m k_i \dfrac{p_i}{q_i}= \dfrac{k_1 p_1}{q_1} + \cdots + \dfrac{ k_m p_m}{q_m}$

    Ainsi $\boxed{\displaystyle\sum_{i=1}^m k_i v_i =\dfrac{k_1 p_1  \times  \displaystyle\prod_{j \ne 1}^m q_j+ \cdots + k_m p_m  \times  \displaystyle\prod_{j \ne m}^m q_j}{ \displaystyle\prod_{j=1}^m q_j} }$

    A partir de là je bloque, je n'ai pas compris où utiliser les sous-groupes de $(\Z,+)$. Je n'ai pas de groupe ici, juste un dénominateur et un numérateur.


  • raoul.S
    Modifié (January 2022)
    Au numérateur tu as des entiers qui sont dans $\Z \left(p_1  \times  \displaystyle\prod_{j \ne 1}^m q_j\right) +\cdots + \Z \left( p_m  \times  \displaystyle\prod_{j \ne m}^m q_j\right)$ qui est un sous-groupe de $\Z$...bref je vais finir par faire l'exo :mrgreen:
  • OShine
    Modifié (January 2022)
    Ah oui bien vu. 
    Donc le numérateur est de la forme $n \Z$ avec $n \in \N$.
    Ainsi, il existe $n \in \N$ tel que  $x= \dfrac{n \Z}{\displaystyle\prod_{j=1}^m q_j}$ 
    Ainsi $R \subset r \Z$ avec $\boxed{r=\dfrac{n}{\displaystyle\prod_{j=1}^m q_j}}$
    Réciproquement, montrons que $r \Z \subset R$. Je ne vois pas comment montrer cette inclusion.
    Pour l'unicité, comment savoir ? On ne sait pas si le $n$ est unique, seuls les $q_i$ sont fixés dès le départ.
  • Mais regarde bien, avec la définition de ton $n$ il est évident que $R=\Z \dfrac{n}{\prod_{j=1}^m q_j}$
  • Je ne vois pas d'où sort l'inclusion inverse  :'(   $n$ n'a pas de définition précise, c'est juste un entier...


  • OShine
    Modifié (February 2022)
    Le théorème dit que les sous-groupes de $(\Z,+)$ sont de la forme $n \Z$ avec $n \in \N$ mais le théorème ne dit pas qui est $n$ ...
  • bd2017
    Modifié (February 2022)
    Bonjour on  a (à vérifier) $r=pgcd/ D$  où  gcd est le pgcd  des $p_i (\Pi_{k\neq i}q_k )$  et D le produit des $q_i$ D'autre part a-t-on supposé quelque chose sur le signe des $v_i?$
    De même sur le signe de $r?$ Cela n'a pas une grande importance  mais  si on évoque l'unicité de $r$...
     
  • OShine
    Modifié (February 2022)
    Je n'ai rien compris à cette question ni à l'unicité. Bd2017 les $v_i$ sont des rationnels non nuls quelconques.
    Pour la question suivante, voici mon raisonnement. 
    Soit $x \in R$. On pose $x=k_1 v_1 + \cdots +k_m v_m$ et en notant $v_i =(v_{1i}, \cdots, v_{mi})$ on a $\pi(x)=k_1 v_{1m} + \cdots + k_m v_{mm}$.
    D'après la question précédent, il existe $r \in \Q$ tel que $\pi(x)=r \Z$.
    Il suffit donc de prendre $\boxed{w=(0, \cdots, 0,r)}$ non ? 
  • bd2017
    Modifié (February 2022)
    Oui, mais pourquoi as-tu un doute ?
    Si $r$ est solution  $-r$  est solution. Si on suppose $r>0$, il y a unicité de $r$ et c'est évident.
     
  • OShine a dit :
    Le théorème dit que les sous-groupes de $(\Z,+)$ sont de la forme $n \Z$ avec $n \in \N$ mais le théorème ne dit pas qui est $n$ ...
    Le théorème ne le dit pas mais la preuve le dit... C'est pour cela que je te demandais si tu connaissais la preuve.
    Tu as parlé de division euclidienne : elle est utile dans la deuxième partie de la preuve quand on a déjà trouvé $n$... mais comment trouve-t-on $n$ avant cela ?

    Quant à l'unicité, je n'aurai qu'un aphorisme : "Il existe des entiers qui ne sont pas positifs !"
    Cet aphorisme peut d'ailleurs se décliner de diverses manières : "Il existe des réels qui ne sont pas des entiers" ou encore "Il existe des complexes qui ne sont pas réels".


  • OShine
    Modifié (February 2022)
    @bisam
    Merci je n'avais pas fait attention au fait qu'on doit prendre la borne inférieure pour $n$...
    Je dois refaire cette preuve pour les sous-groupe de $(\Q,+)$ ? 
    Soit $G$ un sous-groupe de $(\Z,+)$. Montrons qu'il existe $n \in \N$ tel que $G=n \Z$
    Si $G=\{0 \}$ alors $G=n \Z$ en prenant $n=0$.
    Si $G$ n'est pas réduit à l’élément neutre de $(\Z,+)$ alors il existe $g \in G$ tel que $g \ne 0$. Comme $G$ est un groupe, $-g \in G$.
    Ainsi, $G $ contient un élément strictement positif entier, prenons $n= \inf G \cap \N^{*}$. 
    Comme $G$ est un groupe, on a $\forall k \in \N^{*} \ \ k n \in G$ et $-kn \in G$. Donc $\boxed{n \Z \subset G}$
    Montrons que $G \subset n \Z$.
    Soit $g \in G$. On effectue la division euclidienne de $g$ par $n$ ce qui donne $g=qn+r$ comme $qn \in G$ on a $r= g-qn \in G$.
    Mais $0 \leq r < n$ et $m$ est le plus petit entier positif dans $G$, la seule possibilité est $r=0$
    Donc $g=qn \in n \Z$ donc $G \subset n \Z$
    Finalement $\boxed{G=n \Z}$.
  • Je ne trouve pas comment adapter la preuve à $(\Q, +) $. 
  • Mais tu en es à quelle question là ? la 36 ?
  • Toujours la question $36$, je n'ai pas compris le rapport avec la démo que demandait Bisam pour trouver $n$. 
  • raoul.S
    Modifié (February 2022)
    Bisam utilise une autre méthode. je termine celle que tu avais commencé ICI.

    On sait que $\Z \left(p_1  \times  \displaystyle\prod_{j \ne 1}^m q_j\right) +\cdots + \Z \left( p_m  \times  \displaystyle\prod_{j \ne m}^m q_j\right)=n\Z$ pour un certain entier $n$. Il reste à montrer l'inclusion triviale $r \Z \subset R$. Or on a montré que $R=\{\dfrac{a}{\prod_{j=1}^m q_j}\mid a\in \Z \left(p_1  \times  \displaystyle\prod_{j \ne 1}^m q_j\right) +\cdots + \Z \left( p_m  \times  \displaystyle\prod_{j \ne m}^m q_j\right) \}$, donc $R=\{\dfrac{a}{\prod_{j=1}^m q_j}\mid a\in n\Z\}=\dfrac{n}{\prod_{j=1}^m q_j}\Z=r\Z$. Voilà...

    Pour l'autre méthode que tu as commencé ICI tu dois réécrire la preuve avec $\Q$ au lieu de $\Z$ et voir où ça coince...
  • OShine
    Modifié (February 2022)
    Ok merci @raoul.S , pas facile du tout la question ! 
    Pour la démonstration je vais essayer de la reprendre. 
  • OShine
    Modifié (February 2022)
    Voici ma démonstration adaptée. 
    Soit $G$ un sous-groupe de $(\Q,+)$. Montrons qu'il est de la forme $n \Q$ avec $n \in \N$. 
    Si $G=\{0 \}$ alors $G= 0 \Q$
    Supposons $G \ne \{0 \}$. Alors il existe $x \in G$ non nul et $-x \in G$ aussi.
    $G$ contient un élément strictement positif, notons $n = \inf G \cap \N^{*}$
    Comme $G$ est un groupe, on a $\boxed{n \Q \subset G}$.
    Soit $g \in G$. On peut écrire $g= \dfrac{p}{q}$ avec $(p,q) \in \Z \times \Z^{*}$. 
    Ainsi, $|gq| \in \N$. Effectuons la division euclidienne de $|gq|$ par $n$. 
    On $|gq| = n k+ r$ avec $0 \leq r < n$. Or $r= |gq| - nk \in G$ donc on en déduit $r=0$
    Et $|gq| =nk $ donc $g = \pm \dfrac{k}{q} n \in n \Q$ donc $\boxed{G \subset n \Q}$
    On a montré que  $\boxed{G= n \Q}$
    $r$ n'est pas unique car $r \Z = - r \Z$. 
    Du coup, $R=n \Q$ pour un certain entier $n$ mais comment montrer que $R= r \Z$ avec cette méthode ?
  • Les nombres décimaux forment un sous-groupe de $(\Q,+)$.
    Il n'est pas de la forme $n\Q$.
  • OShine
    Modifié (February 2022)
    En effet.
    Alors je ne comprends pas la méthode proposée par Bisam. 
  • gerard0
    Modifié (February 2022)
    Encore de l'imitation d'une preuve, sans aucune réflexion.
    Prenons $n=2$. Quel est très exactement l'ensemble $n\Z$ ? Et $n\Q$ ?
    Toujours tourner 7 fois sa langue dans sa bouche avant de parler.
    Toujours réfléchir 7 minutes avant d'écrire une notation non habituelle.
    Et arrêter d'écrire "comme"
  • Une remarque pour gerard0 : à l'impossible nul n'est tenu.
    On ne peut pas demander à OShine de penser.
  • Effectivement !
    mais son $n\Q$ est tellement ridicule !!
  • Faut-il pleurer, faut-il en rire $\ldots$
    J'ai essayé de l'aider et j'ai pleuré.
    Maintenant je choisis d'en rire.
  • $2 \Z$ c'est l'ensemble des nombres pairs, et $2 \Q$ c'est l'ensemble des rationnels dont le numérateur est pair.


  • $\frac13=\frac26$
  • Rescassol
    Modifié (February 2022)
    Bonsoir,
    > $2 \Q$, c'est l'ensemble des rationnels dont le numérateur est pair
    N'importe quoi !!! Et ce gars est prof !!
    Cordialement,
    Rescassol
  • On a : $2 \Q= \{ \dfrac{2 p}{q} \ | \ (p,q) \in \Z \times \Z^{*} \}$


  • OShine
    Modifié (February 2022)
    Quels sont les sous-groupes de $(\Q,+)$ alors ? 
    Phil Caldéro (qui passe 15 secondes par question en donnant juste l'idée) donne la même idée que Raoul.S il dit de multiplier par le dénominateur $d$ de tel sorte que $d R$ est un sous-groupe de $(\Z,+)$ il sera de la forme $m \Z$. Il suffit de poser $r=m/d$.
    La méthode de Bisam m'est incompréhensible.
  • Rescassol
    Modifié (February 2022)
    Bonsoir,

    Et si tu te donnais la peine de réfléchir un peu: $\dfrac{1}{3}=2\times \dfrac{1}{6} \in 2\Q$ ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • @Bd2017 je parle de l'ensemble $R$ de l'énoncé et non de l'ensemble des réels ! 
    $1/3 \in 2 \Q$ j'ai écrit des bêtises. 

    @Rescassol
    J'ai voulu aller trop vite.





  • OShine
    Modifié (February 2022)
    De toute façon la méthode de Raoul.S fonctionne très bien, pourquoi se prendre la tête ? 
    Je bloque à la question $38a$. Voici ce que j'ai essayé.
    Supposons qu'un tel couple existe. Alors $\pi(x)=\pi( qw+ \tilde{x})=q \pi(w)+0= q \pi(w)$
    Mais je bloque ici. 

  • Soc
    Soc
    Modifié (February 2022)
    gerard0 a dit :
    Et arrêter d'écrire "comme"
    Pourquoi ?
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • gerard0
    Modifié (February 2022)
    Oui, tu as raison, Soc !
    Il a intérêt à imiter les notations, vu que vous finirez par lui rédiger son corrigé. Sans qu'il comprenne ce qu'il écrit.
    Ça fait plus de 3 ans que je le vois faire, et il y a toujours des intervenants nouveaux qui le prennent au sérieux. Un encouragement à la bêtise !!
    Cordialement.
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