Continuité des racines et déterminant jacobien compliqué ?

dans Algèbre
Bonjour,
j'ai essayé de calculer le déterminant de la matrice jacobienne de \[(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) \mapsto -X^n + \prod^n_{i=1} (X+\lambda_i)\] en tant qu'application $\mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}_{n-1}[X]$, mais j'ai manqué de courage à un moment. Je conjecture que c'est le déterminant de Vandermonde de $(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$ parce que j'ai réussi à mettre $\prod_{i\neq 1} (\lambda_i - \lambda_1)$ en faisant des opérations sur les colonnes et je crois (mais n'arrivais pas à m'en convaincre par le calcul - je réessaierai avec d'autres notations) que ça permettait de démontrer l'hérédité d'une récurrence.
Cependant, comme le résultat est "remarquable", j'imagine qu'il y a un moyen conceptuel de le voir !
Pouvez-vous m'aider ?
Merci !
PS : C'était pour la continuité des racines. J'ai mis des $+$ pour ne pas m'embêter avec les signes, et j'ai considéré cette $\theta$-là parce que je croyais que c'était celle-là. Mais en fait, mes souvenirs me trompaient, la démonstration que j'ai dû voir devait être celle de l'exercice 13 de https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/analyse/calculdiff/implicite&type=fexo.
j'ai essayé de calculer le déterminant de la matrice jacobienne de \[(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) \mapsto -X^n + \prod^n_{i=1} (X+\lambda_i)\] en tant qu'application $\mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}_{n-1}[X]$, mais j'ai manqué de courage à un moment. Je conjecture que c'est le déterminant de Vandermonde de $(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$ parce que j'ai réussi à mettre $\prod_{i\neq 1} (\lambda_i - \lambda_1)$ en faisant des opérations sur les colonnes et je crois (mais n'arrivais pas à m'en convaincre par le calcul - je réessaierai avec d'autres notations) que ça permettait de démontrer l'hérédité d'une récurrence.
Cependant, comme le résultat est "remarquable", j'imagine qu'il y a un moyen conceptuel de le voir !
Pouvez-vous m'aider ?
Merci !
PS : C'était pour la continuité des racines. J'ai mis des $+$ pour ne pas m'embêter avec les signes, et j'ai considéré cette $\theta$-là parce que je croyais que c'était celle-là. Mais en fait, mes souvenirs me trompaient, la démonstration que j'ai dû voir devait être celle de l'exercice 13 de https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/analyse/calculdiff/implicite&type=fexo.
Réponses
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Bonjour, Georges,
je n'ai pas de papier sous la main, mais une première idée serait de faire le lien avec les sommes de Newton des $\lambda_i$ qui, elles, conduisant clairement à un déterminant de Vandermonde. -
Cela semble fonctionner : en appelant $S_k$ les sommes de Newton des $\lambda_i$ et $s_k$ leurs fonctions symétriques élémentaires, on a $s_1=S_1$, $2s_2=s_1S_1-S_2$, $3s_3=s_2S_1-s_1S_2+S_3$, etc.
Ensuite, en dérivant cela partiellement (ligne par ligne) par rapport aux $\lambda_i$ et en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice jacobienne des $s_k$, on obtient au signe près un déterminant de Vandermonde. -
Le déterminant de la jacobienne est un polynôme en $\lambda_1, \dots, \lambda_n$.Soit $\phi( \lambda_1, \dots, \lambda _n)=(X+\lambda_1)\dots(X+\lambda_n)-X^n=\phi_{n-1}X^{n-1}+\dots+\phi_1X+\phi_0$.Si $\lambda_i= \lambda_j$ alors $(X+\lambda_i+\epsilon)(X+\lambda_j)=(X+\lambda_i)(X+\lambda_j+\epsilon)$, donc $\phi(\lambda_1, \dots, \lambda_i+\epsilon, \dots, \lambda_j, \dots, \lambda_n)=\phi(\lambda_1, \dots, \lambda_i, \dots, \lambda_j+ \epsilon, \dots, \lambda_n)$. Donc $\frac{\partial \phi_k}{\partial \lambda_i}=\frac{\partial \phi_k}{\partial \lambda_j}$ pour $k=0, \dots, n-1$. Donc le déterminant de la jacobienne est nul si $\lambda_i=\lambda_j$, donc divisble par $(\lambda_i-\lambda_j)$Donc à cause du degré, le déterminant est égal à une constante fois le déterminant de Vandermonde.
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En effet, $\phi_{k}$ est homogène de degré $n-k$, donc $\frac{\partial \phi_k}{\partial \lambda_i}$ est homogène de degré $n-k-1$. Donc le déterminant de la jacobienne est un polynôme de degré $(n-1)+(n-2)+ \cdots+2+1+0$.
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Une variante de la méthode de Marco : pour $n=3$, cas suffisamment représentatif du cas général, on peut aussi partir (formellement ou fonctionnellement) de $(X-a)(X-b)(X-c)=X^3-AX^2+BX-C$ ; puis, en dérivant partiellement par rapport à $a$, resp. $b$, resp $c$, puis en spécialisant successivement en $a,b,c$, on a$$\begin{pmatrix}\frac{\partial A}{\partial a}&\frac{\partial B}{\partial a}&\frac{\partial C}{\partial a}\\ \frac{\partial A}{\partial b}&\frac{\partial B}{\partial b}&\frac{\partial C}{\partial b}\\ \frac{\partial A}{\partial c}&\frac{\partial B}{\partial c}&\frac{\partial C}{\partial c}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} a^2&b^2&c^2\\-a&-b&-c\\1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(a-b)(a-c)&0&0\\0&(b-c)(b-a)&0\\0&0&(c-a)(c-b)\end{pmatrix}$$ Si $V$ désigne la déterminant de Vandermonde et $J$ le déterminant jacobien, on a alors, au signe près $JV=\pm V^2$ ; on conclut lorsque $a\neq b\neq c$, puis on étend au cas général par densité.
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Bonjour!
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