Une partie entière toujours paire
Réponses
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Bonjour,L'idée d'une démonstration dans le cas $n$ et $n+1$ non premier et $n$ suffisamment grand (première occurence à 8) n'est pas trop dure à trouver, dans ce cas, $\frac{(n-1)!}{n(n+1)}$ est un entier, et il est pair. Dans le cas où l'un des deux est premier, j'en sais rien, mais pour $n$ suffisamment grand, on se doute que la "partie décimale" sera de forme (edit, j'avais écrit une erreur là:) $\frac{p-1}{p}$ où $p$ est le nombre premier parmi $n$ et $n+1$ (mais je ne crois pas que cette information soit pertinente, en tout cas, moi, je ne sais pas quoi en faire).
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On suppose $n \geqslant 5$.
Si $n=p$ est premier :
(i) vérifier que le nombre $N := \dfrac{(p-1)!}{p+1}$ est un entier pair ;
(ii) vérifier que $p$ divise $N+1$ (théorème de Wilson), et donc que $\dfrac{N+1}{p}$ est un entier impair et conclure.
Dans le cas où $n+1=p$ est premier, même argument en remplaçant $N$ par $M := \dfrac{(p-2)!}{p-1}$. -
Pardon, mais je n’arrive toujours pas à voir pourquoi si n ou n+1 est premier N est pair et M est pair. Puis-je avoir plus d’indications, merci.
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Si, par exemple, $n=p \geqslant 5$ premier, comme $p+1 = 2 \times \frac{p+1}{2}$, on en déduit que $p+1$ divise $(p-1)!$ et donc $N$ est entier, qui est pair car divisible par $p-1$.
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Merci beaucoup pour votre explication, je vois plus clair maintenant.
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De rien. À noter pour ceux que ça intéresse (Chaurien, Gebrane, Etanche, etc), ce problème provient de Asia Pacific Mathematical Olympiad (APMO) 2004. Voir : https://omec-mat.org/wp-content/uploads/2016/11/APMO-2004-Sol-Eng.pdf
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@noix de totos Comment sais-tu que je suis attentivement ce fil ?
J’espère que @sarra va nous donner une rédaction de cet exercice.
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Gebrane : je viens ici assez peu souvent, mais suffisamment pour penser que tu suis attentivement (quasiment) tous les fils.
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Je ne sais pas comment je vais prendre cela
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Je ne vois pas comment on pourrait prendre ça autrement que comme un compliment.
Faut pas toujours voir du négatif là où il n'y en a pas. -
BonjourUne autre manière de faire est d'écrire, si $n$ est premier :$\ \Big[ \dfrac{(n-1)!}{n(n+1)} \Big]=\Big[ \dfrac{(n-1)!}{n}-\dfrac{(n-1)!}{n+1} \Big]=\Big[ \dfrac{(n-1)!+1}{n}-\dfrac{(n-1)!}{n+1}-\dfrac{1}{n} \Big]$.Et si $n+1$ est premier, en remarquant dans ce cas (d'après le théorème de Wilson) que $(n-1)! \equiv 1 \mod(n+1)$ :$\ \Big[ \dfrac{(n-1)!}{n(n+1)} \Big]=\Big[ \dfrac{(n-1)!}{n}-\dfrac{(n-1)!}{n+1} \Big]=\Big[ \dfrac{(n-1)!}{n}-\dfrac{(n-1)!-1}{n+1}-\dfrac{1}{n+1} \Big]$.Al-Kashi
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Bonjour!
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