Fractions continues
Réponses
-
Merci à Cidrolin pour ce joli exercice.
J'ai commencé par chercher les cas $n=1$ et $n=2$. J'ai alors deviné une jolie formule générale pour la fraction continue de la moyenne harmonique (je ne la donne pas pour laisser aux autres le plaisir de la trouver).
Une fois la formule obtenue elle assez rapidement démontrée quand on connait les relations vérifiées par les fractions continues. -
Merci jandri.1) Calcul de la moyenne harmoniqueEn posant $Y_n=\dfrac{u_n}{v_n}$, pour $n \geq 1$, on arrive à considérer la suite définie par$u_0=1$; $u_1=a$ et $u_{n+2}=a.u_{n+1}+u_{n}$, et finalement $Y_n=\dfrac{u_n}{u_{n-1}}$.On a $\quad \dfrac{2}{\dfrac{1}{Y_n}+\dfrac{1}{Y{n+1}}}=\dfrac{2u_n u_{n+1}}{u_n^2+u_{n-1} u_{n+1}}$.2) Exemple avec $a=5$ et $n=2$Ici $u_0=1$; $u_1=5$; $u_2=26$ et $u_3=135$.La fraction continue de $\dfrac{2\times 26\times 135}{26^2+5\times 135}$ est $[5,5,10,5,5]$.Ce qui nous conduit à subodorer que la fraction continue demandée est : $[a,a,\dots,a,2a,a,a,\dots,a]$,avec $n$ fois le $a$, puis $2a$, et encore $n$ fois le $a$.(à suivre)
-
3) Que vaut $X_n=[a,\dots,a,2a,a,\dots,a]$ ?Posons $A=\begin{pmatrix} a&1 \\1&0 \end{pmatrix}$, alors $A^n=\begin{pmatrix} u_n&u_{n-1} \\u_{n-1} &u_{n-2} \end{pmatrix}$.On a $A^n \begin{pmatrix} 2a&1 \\1&0 \end{pmatrix} A^n=\begin{pmatrix}2a u_n^2+2u_n u_{n-1}& \dots \\2 a u_n u_{n-1}+u_n u_{n-2}+u_{n-1}^2& \dots\end{pmatrix}$.On en déduit $X_n=\dfrac{2a u_n^2+2u_n u_{n-1}}{2 a u_n u_{n-1}+u_n u_{n-2}+u_{n-1}^2}=\dfrac{2u_n u_{n+1}}{u_n^2+u_{n-1}u_{n+1}}$Nous retrouvons la moyenne harmonique de $Y_n$ et $Y_{n+1}$.
-
Merci encore Cidrolin pour ce joli exercice
Pour le 1) j'ai fait comme toi.
Pour le 3) je n'ai pas utilisé de matrice mais cela revient au même, j'ai montré par récurrence (c'est facile) que $[\underbrace{a,\dots,a}_{n fois},x]=\dfrac{x u_n+u_{n-1}}{x u_{n-1}+u_{n-2}}$ ; ensuite j'ai écrit $X_n=[\underbrace{a,\dots,a}_{n fois},2a+\frac1{Y_n}]$ pour retrouver $X_n=\dfrac{2u_n u_{n+1}}{u_n^2+u_{n-1}u_{n+1}}$. -
Effectivement c'est très joli. Cidrolin tu as trouvé ça dans un recueil?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.5K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.6K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 85 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres