Exercice de probabilité

phues

D’un ensemble de 50 boules numérotées, on extrait 20 boules sans remise. Puis on les remet dans l’ensemble des boules. Ensuite, on extrait 12 boules sans remise.

Calculer la probabilité que ces deux extraits aient exactement k éléments en commun avec 0 ≤ k ≤ 12.

Kolakoski

Avez-vous essayé de traiter l'exercice ? 
Comment modéliser les tirages ? On peut considérer les tirages ordonnés : combien y en a-t-il ?
On pourrait supposer que les 20 boules tirées sont les 20 premières. Quelle est la probabilité de n'en tirer qu'une seule ? Il faut en choisir une parmi les 20 premières, sa position dans notre tirage et 11 parmi les 30 dernières...
Le même raisonnement tient pour les autres valeurs de $k$ !

PetitLutinMalicieux

Bonjour,

$$p_k = \frac{C_{50}^{12}C_{12}^{k}C_{38}^{20-k}}{C_{50}^{20}C_{50}^{12}}$$

N'est-ce pas ?

NB1: l'auteur est radin. Il pourrait avoir 2 urnes et comparer les tirages, plutôt que faire des remises.

NB2: Kolakoski, il n'y a aucune notion d'ordre dans cette question.

lourrran

L'auteur pourrait aussi dire :  On a une urne avec 50 boules blanches.
Un premier opérateur passe le lundi, il prend 20 boules et les peint en noir, et il les remet dans l'urne.
Le lendemain, on tire 12 boules dans cette urne qui contient donc 50 boules dont 20 noires. 
Pour tout entier k entre 0 et 12, calculer la probabilité d'avoir k boules noires dans ce tirage.

Et on pourrait même se passer des 2 premières lignes. Que les 20 boules aient été peintes en noir il y a 3 minutes, ou hier, ou qu'on les ait achetées déjà peintes en noir, ça ne change pas vraiment le problème.

On tire 12 boules dans une urne contenant 50 boules dont 20 noires. 
Pour tout entier k entre 0 et 12, calculer la probabilité d'avoir k boules noires dans ce tirage.

PLM :
remarque 1 : Une fraction avec C(50,12) à la fois au numérateur et au dénominateur, bof.
remarque 2 : on calcule 13 probabilités. Est-ce que la somme de ces 13 nombres donne 1 ?

gerard0

Malicieux, PLM, avec cette formule volontairement compliquée !

PetitLutinMalicieux

1) Si tu achètes tes boules noires peintes, cela casse pas mal le concept de tirage aléatoire. Ce n'est pas pareil.

2) Je mets tout pour que le raisonnement soit apparent. Je me moque du résultat.

3) Ta remarque sous-entend que la somme ne fait pas 1. Damned. Je n'ai pas les outils sous la main pour vérifier. Où aurais-je commis une erreur ?

lourrran

Si les boules 'du groupe de 20' sont choisies aléatoirement juste avant celles du groupe de 12, ou si elles ont été choisies 3 jours avant,
Si les numéros des 20 boules sont notés sur un registre, ou si les 20 boules sont marquées d'un coup de pinceau ...
Tout ça, c'est pareil. 
Le processus proposé par l'auteur de l'exercice est juste un piège, pour voir si les étudiants sauront identifier les informations utiles et les informations parasites.

A priori, ton calcul est bon ... mais je pense que c'est un rappel toujours utile : Quand phues cherche les 13 résultats, si la somme des 13 probabilités ne donne pas 1, c'est qu'il y a un loup.