Intersection deux sphères

Code_Name

Bonsoir, soient $x,y\in \mathbb R^3$ et $p$ sur la droite $\overline{xy}$. Soit la sphère  $S_x$ centrée en $x$ passant par $p$ et $S_y$ celle centrée en $y$ passant par $p$. Je ne me souviens plus comment justifier formellement que l'intersection entre les deux sphères est unique même si c'est complétement évident sur un dessin, merci.

Dom

C’est-à-dire « unique » ?

Édit : indépendant de $p$, j’imagine. 

Il suffit d’écrire les équations, non ?

ou plutôt : les sphères sont tangentes ?

Paul Broussous

Le plus court chemin entre deux points est la ligne droite !

 Démontrer au préalable que si $z$ est un point de l'espace, alors la relation entre distances $xz+zy=xy$ entraîne que $z$ appartient au segment $[xy]$. Pour cela, introduire le projeté orthogonal de $z$ sur la droite $(xy)$.

lourrran

Selon moi, on parle de 3 points (x, y, p) qui ne sont pas forcément alignés.
On parle de 2 sphères.  On a l'assurance que ces 2 sphères se touchent, il y a au moins le point p qui est commun aux 2 sphères.

Par contre, quelle est la question ?   
Montrer que l'intersection des 2 sphères n'est pas fluctuante ? (elle est bien définie , unique) ?
Montrer que l'intersection est réduite à un seul point ?   Mais dans ce cas, ça veut dire que les 3 points x,y,p étaient alignés.

gerard0

Lourran, 
Code_name a bien défini ses points comme alignés, relis son message.
Cordialement 

Dom

C'est bien ça.
On peut écrire les équations des sphères et s'apercevoir qu'il n'y a qu'une seule solution à l'intersection (un seul point, les sphères sont tangentes extérieurement).

lourrran

Oups ! 
p est sur la droite xy. 
Peut-être faut-il traiter séparément les cas où p est sur le segment xy, et les cas où il est à l'extérieur de ce segment.

Dom

Ha oui, en effet, belle méprise de ma part !

gerard0

Bonjour.

Difficile de donner une réponse à Code_Name, faute de connaître le contexte de sa question (*). mais la preuve en géométrie synthétique se faisait en utilisant l'inégalité stricte du triangle non plat (j'ai vu ça en quatrième !), et une preuve analytique avec les équations de sphère dans l'espace (dimension 3) se fait par élimination.

Cordialement.

(*) une preuve formelle s'appuie sur des axiomes précis et des théorèmes conséquences bien délimités.

bisam

Tout cela dépend bien évidemment de la norme utilisée pour définir les sphères.
Si on prend la norme infinie, les sphères de centre (0,0,0) et (2,0,0) passant par (1,0,0) ont tout le carré \[K=\{(1,y,z), |y|\leq 1, |z|\leq 1\}=\{1\}\times [-1,1]\times [-1,1]\] en commun et pas seulement un point.

Code_Name

Bonjour, je n'arrive toujours pas à correctement prouver mes affirmations... D'abord, je n'ai pas compris le message de Paul, il me semble que $xz+zy=xy$ est toujours vraie...

Ensuite j'essaie de procéder par l'absurde en disant d'abord que cette autre intersection a forcément lieu en dehors de la droite (je n'arrive pas à prouver ceci) et ensuite en supposant ceci, je vois sur un dessin en deux dimensions que ça conduit à une contradiction car la sphère intersecterait la droite en un point plus éloigné que $p$, mais encore une fois comment faire formellement je ne vois pas... J'essaie l'inégalité triangulaire mais je ne vois pas comment l'appliquer ici... merci pour votre aide.

Dom

Équation du cercle $C_1$ de ton dessin : 
$(X-x)^2+Y^2=(p-x)^2$

Son rayon, $r_1$ vaut bien $p-x$ sur ton dessin. 

Non ?

j’ai choisi $X$ et $Y$ comme variables représentant les abscisses et ordonnées. 

Code_Name

Oui mais ensuite? Aussi pourquoi avoir supposé que la coordonnée verticale de $p$ et $x$ est nulle?

bisam

Si la norme utilisée est la norme euclidienne, l'identité du parallélogramme règle toutes tes questions.

Dom

J’ai choisi un repère où l’axe des abscisses est cette droit $(xy)$. 

On peut bien entendu choisir un autre repère (mais j’ai trouvé que c'était plus confortable pour les calculs). 

On a donc si $M$ est un point de coordonnées $(X;Y)$ qui appartient à chacune des sphères, alors :  
$(X-x)^2+Y^2=(p-x)^2$ 

$(X-y)^2+Y^2=(p-y)^2$

On s’en sort facilement par une soustraction de ces égalités. Le problème revient à une équation du premier degré (dans le cas $x\neq y$). 

Et on trouve la solution unique : $(X;Y)=(p;0)$.

Paul Broussous

Code_Name a dit :

Bonjour, je n'arrive toujours pas à correctement prouver mes affirmations... D'abord, je n'ai pas compris le message de Paul, il me semble que $xz+zy=xy$ est toujours vraie...

 Attention, j'ai bien précisé qu'il s'agit d'une relation entre distances (pas entre vecteurs, qui de toute façon ne se notent  pas ainsi).

 Soit $m$ dans l'intersection des sphères. Alors on a la relation entre distances $xm+ my = xp+py=xy$. Il s'ensuit que le triangle $xmy$ est plat. (*) Plus précisément, $m$ est sur le segment $[xy]$. Puisque $xm=xp$ et $ym =yp$, on a bien $m=p$. 

 (*) Si on ne veut pas admettre ce résultat, tout dépend en effet de quelle axiomatique on part. J'utilise celle de l'université : on définit d'abord les espaces vectoriels euclidiens, puis les espaces affines euclidiens, ...

 Supposons que $xm+my =xy$. Introduisons le projeté orthogonal  $h$ de $m$ sur la droite $(xy)$. On a $xm \geqslant xh$ et $my\geqslant hy$, où dans les deux cas on a égalité si, et seulement si, $m=h$. On écrit :

$xy = xm +my \geqslant xh +hy \geqslant  xy \ .$

Donc les inégalités ci-dessous sont en fait des égalités et on en déduit que

 1) $m=h$

 2) $xh+hy=xy$, ce qui signifie que $h$ est sur le segment $[xy]$.

 C.Q.F.D.

Code_Name

Je remercie tous les intervenants et en particulier Dom et Paul pour leurs réponses détaillées