Equation matricielle

Bonjour

Comment résout-on l'équation
100
100 = X²
000
Où X est une matrice 3x3

Cela doit être simple mais j'ai pas d'idée.
Merci

Réponses

  • Notons $M$ la matrice à gauche. $M$ est semblable à la matrice $D=Diag(1,0,0)$ : il existe $P$ inversible telle que $M=PDP^{-1}$.
    On a donc $X^2 = M$ si et seulement si $(P^{-1}XP)^2 = D$.

    Pour résoudre, $X^2 = M$, il suffit donc de résoudre l'équation $X^2 = D$.

    Mais, si $X^2 = D$, alors $X$ commute avec $D$, qui implique que $X$ est de la forme $Diag(a, A)$, avec $a$ est un scalaire, et $A$ une matrice 2x2.
    De plus, comme $X^2 = D$, on a $a^2 = 1$ et $A^2 = 0$.

    Réciproquement, si $a^2 = 1$, et $A^2 = 0$, on voit que $X=Diag(a,A)$ vérifie $X^2 = D$.

    Voilà, maintenant il faut voir ce qu'on entend par "résoudre $X^2 = M$" et si ce que j'ai écrit peut suffire...
  • bonjour

    le déterminant de A est nul, la matrice n'est pas inversible

    tu calcules A²; tu trouves A et et la racine carrée de A est aussi égale à A

    puisque [rac(A)]²=A

    l'équation X²=A admet deux racines: plus ou moins A

    cordialement
  • Bonjour

    Guego a bien sur raison (Jean , tu es mal réveillé!)

    on peut expliciter l'infinité de solutions

    ligne 1: e 0 0
    ligne 2: e-a a c
    ligne 3: -b b -a

    avec e=±1 et a²+bc=0

    petite remarque: on a seulement un nb fini de solutions de X²=A lorsque A est diagonalisable a spectre simple
    ( debut du raisonnement : si X²=A alors X commute avec A et donc les sous espaces propres pour A sont stables par X etc.)

    Oump.
  • Merci , de tout cela !!

    Superfly
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