Collier hexagonal

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Bonjour, on voudrait connaître tous les colliers différents de 6 perles pour un choix de 7 perles différentes qu'on peut former.

Dans mon cours, on pose donc $X=\big\{x\mid\{P_1,\dots,P_6\}\to \{1,2,\dots,7\}\big\}$. $X$ représente donc tous les colliers qu'on peut former, même s'ils sont les mêmes symétriquement ($|X|=7^6$).

On considère l'action de $\mathcal D_{12}$ [groupe diédral à 12 éléments] sur $\begin{array}[t]{cccl} X:& \mathcal D_{12}\times X&\to& X \\& (g,x)&\mapsto& y:\{P_i\mapsto x(g^{-1}P_i)\} \end{array}$

Il y a l'affirmation sans justification dans mon cours qui est que deux représentations de colliers $x_1,x_2\in X$ représentent le même collier $\iff x_1,x_2$ sont dans la même orbite de l'action de $\mathcal D_{12}$ sur $X$.
Comment justifier cette affirmation ? Merci.

Riemann_lapins_cretins

On te dit que deux colliers sont les mêmes s'ils sont symétriques ou encore (c'est implicite mais bon) si deux colliers se déduisent l'un de l'autre par rotation.
Les composées de rotations et d'une symétrie forment le bon vieux groupe dièdral, d'où l'action naturelle qui apparaît.

(On a la variante un peu plus simple pour laquelle on ne considère pas que deux colliers déduits symétriquement l'un de l'autre sont identiques : ils le sont seulement si l'un se déduit de l'autre par rotation. Quel est alors le groupe qui agit naturellement sur l'ensemble des enfilage possibles de perles ?)

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Je vois, mais pourquoi dans l'action on a $g^{-1}$ et pas juste $g$ ?
Pour la variante il suffit de restreindre au groupe des rotations, c'est-à-dire $\{id,r,\dots,r^5\}$ non ?

Math Coss

Si tu ne mets pas l'inverse, tu n'obtiens pas une action à gauche mais à droite : $A(g,A(h,x))=A(hg,x)$ pour $g$, $h$ dans le groupe et $x$ dans l'ensemble des fonctions. 

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Je vois merci