Analogies séries numériques et équations différentielles

adrien2019
Modifié (December 2021) dans Analyse
Bonjour à tous
Je cherche à établir un récapitulatif des liens (ou analogies) entre les théorèmes et méthodes sur les séries numériques et celles sur l'intégration et les équations différentielles. Plus précisément, je cherche à clarifier les analogies entre la méthode "de la loupe" (suites/séries numériques) et la méthode de variation de la constante (équations différentielles).
Considérons par exemple une suite réelle définie par $u_0 > 0$ et $u_{n+1} = u_n \mathrm{e}^{-u_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On cherche un développement asymptotique à deux termes de $u_n$.
Pour la méthode de la loupe, on commence par chercher $\beta$ tel que $\frac{1}{u_{n+1}^{\beta}} - \frac{1}{u_n^{\beta}}$ admette une limite non nulle. On trouve $\beta = 1$ (et la limite vaut alors $1$), d'où par le lemme de l'escalier $\frac{1}{u_n} \sim n$, puis $u_n \sim \frac{1}{n}$.
Pour le deuxième terme, on veut poser une suite $(v_n)$ et évaluer $v_{n+1} - v_n$. La mauvaise idée est de poser $v_n = u_n - \frac{1}{n}$. La "bonne" idée (celle qui va marcher) est de poser $v_n = \frac{1}{u_n} - n$. La question est : comment savoir quelle était la bonne idée ?
Je sais que pour trouver l'idée qui fonctionne, on peut procéder par analogie avec les équations différentielles et la méthode de variation de la constante, mais j'ai perdu le document sur lequel j'avais trouvé ces explications. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer l'analogie (ou m'indiquer un document sur lequel cela est développé) ?
Pour information, j'avais imprimé deux pages du document que j'avais trouvé, que j'ai mises ci-joint. Si quelqu'un arrive également à retrouver le document en question, je lui en serai reconnaissant (mes recherches google n'ont rien données).
Je vous remercie d'avance pour vos réponses !
Et bonnes fêtes à tous ! :)


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