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Intégrale intrigante

Modifié (December 2021) dans Analyse
Bonjour à tous
Pour $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, trouver la valeur de l’intégrale $$I_n=\int\limits_{0}^{2\pi}\left| \sin{\left( (n-1)x-\dfrac{\pi}{2n}\right)}\cos(nx)\right|\mathrm dx$$
Pour les trois premières valeurs de $n$, on trouve $I_1=4$, $I_2=8/3$, $I_3=-8(\sqrt{2}-3)/5$.
Bonne soirée.
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Réponses

  • Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Pourquoi c'est une intégrale intrigante ? D'où vient cette intégrale ?
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (December 2021)
    Bonsoir @gebrane.
    C'est un problème d'AMM.
  • Modifié (December 2021)
    Merci pour la source.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (December 2021)
    Une piste pour  voir ce que cela donne avec les développements en série de Fourier de $|\sin(t)|$ et $|\cos(u)| $
  • Modifié (December 2021)
    Bonjour
    On connaît une primitive de l’intégrande. 
    Tout simplement. 
  • Modifié (December 2021)
    Bonjour,  @YvesM tu bluffes?
    Donne la valeur exacte de $I_4$ vue cette affreuse de primitive de Wolphi https://www.wolframalpha.com/input/?i=\int++|+\sin{\left(+4x-\dfrac{\pi}{10}\right)}\cos(5x)|
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (December 2021)
    gebrane a dit. Donne la valeur exacte de $I_4$
    $I_4 = \dfrac{16 + 16\sqrt{2} - 12\sqrt{3}}{7}$ (merci maple).
  • Modifié (December 2021)
    @gebrane
    On réecrit $$I_n = \displaystyle \frac{\sin((n-1)x-\frac{\pi}{2n})\cos(nx)}{\lvert\sin((n-1)x-\frac{\pi}{2n})\cos(nx)\rvert} \int\sin((n-1)x-\frac{\pi}{2n})\cos(nx)dx$$
    Une linéarisation donne alors
    $$I_n=\displaystyle \frac{\sin((n-1)x-\frac{\pi}{2n})\cos(nx)}{\lvert\sin((n-1)x-\frac{\pi}{2n})\cos(nx)\rvert} \times \frac{1}{2}\int\left(\sin((2n-1)x-\frac{\pi}{2n})-\sin(x+\frac{\pi}{2n})\right)dx$$
    Ce qui donne ainsi
    $$I_n=\displaystyle \frac{1}{2} \frac{\sin((n-1)x-\frac{\pi}{2n})\cos(nx)}{\lvert\sin((n-1)x-\frac{\pi}{2n})\cos(nx)\rvert} \left(\cos\left(x+\frac{\pi}{2n}\right)-\frac{\cos\left((2n-1)x-\frac{\pi}{2n}\right)}{2n-1}\right)+C$$
  • @fares.guehtar  Es-tu sérieux? avec ta méthode tu me prouves que par exemple $\int_0^1 |2x-1|dx=0$
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Non, je ne bluffe pas. Une primitive de $|\cos(a x+b)|$ est $sign(\cos(ax+b)) \sin(ax+b)/a$ pour $a\neq 0.$
    La fonction signe est facile à définir.
    Les formules trigonométriques permettent d’écrire l’intégrande de l’intégrale comme la valeur absolue de la somme de deux sinus.$
    Une primitive est donc connue. Tout simplement. 
  • Puisque tu bluffes pas, tu fais la même erreur que fares
    Le 😄 Farceur


  • YvesM,
    qui est x dans le quotient devant l'intégrale ? 
    Rappel : dans l'intégrale, la lettre x n'existe que pour écrire l'expression, on peut la remplacer par n'importe quelle autre lettre. 

    Cordialement. 
  • Modifié (December 2021)
    @gerard0 Le problème est plus grave, j'ai donné un contre exemple.
    Normalement avec un calcul simple $\int_0^1 |2x-1|dx=1/2$
    Mais si on prétend qu'une primitive de  $x\to |f(x)|$ est $x\to (sign f(x)) F(x)$ où $F$ une primitive de $f$, on trouve que $\int_0^1 |2x-1|dx=0$.
    Je rappelle que $x\to (sign f(x)) F(x)$ n'est pas dérivable pour prétendre que c'est un primitive. c'est dérivable au sens des distributions.
    Je ne peux expliquer d'avantage.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (December 2021)
    Oui, je suis d'accord. Simplement je signalais l'origine de l'erreur : l'utilisation de la variable d'intégration en dehors de l'intégrale.
    Cordialement.
  • Modifié (December 2021)
    $|\cos(t)|=\frac{2}{\pi} + \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{1-4k^2}\cos(2kt)$, avec $t=nx$

    $|\sin(t)|=\frac{2}{\pi} + \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty}  \frac{1}{1-4k^2} \cos(2kt)$, avec $t=(n-1)x - \frac{\pi}{2n}$ 

    permettent de calculer l’intégrale.
  • Modifié (December 2021)
    Je pensais que ces séries de Fourier n'étaient valables que pour -pi<t<pi or ici nx lorsque n est grand va sortir de l'intervalle [0,pi].
    Lorsque n est assez grand on peut trouver une règle pour le signe de l'intégrande sans la valeur absolue qui fait intervenir 10 intervalles et donne une horrible formule. Mais je me trompe surement si cet exercice est proposé à des lycéens.
  • Je ne trouve pas de méthodes pour ce calcul. Mais @YvesM est tenace et ne recule devant rien. Il reviendra tôt ou tard avec une belle méthode sans faille.
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (December 2021)
    Les séries de Fourier marchent mais le calcul n'est pas si simple.
  • @boecien C"est une question de faisabilité.  Exemple, théoriquement, on peut intégrer n'importe quelle fraction rationnelle par décomposition en éléments simples,  mais dans la pratique c'est autre chose..
    Si étanche veut et peut mener son calcul jusq'au bout; alors bravo
    Le 😄 Farceur


  • Bonjour,

    J'explique la formule suivante : $\displaystyle \int_a^b |f(x)| dx = F(x) sign f(x) |_a^b - 2 \sum_{k=1}^K F(x_k) sign f'(x_k).$ Les $\displaystyle x_k$ vérifient : $\displaystyle f(x_k) = 0, f'(x_k) \neq 0, a<x_k<b.$

    Application au calcul de $\displaystyle I = \int_0^1 |2x-1| dx.$

    On a $f(x) = 2x-1$, $F(x) = x^2-x +c$ avec $c$ une constante.
    $f(x) = 0$ pour $x=1/2$ avec $0<1/2<1.$
    $f'(x)=2 \neq 0.$

    La formule donne $(x^2-x+c) sign (2x-1)|_0^1 - 2 ((1/2)^2-(1/2)+c) sign 2 = c \times 1 - c \times -1 - 2 (-1/4+c) \times 1 = 2c+1/2-2c = 1/2.$

    J'ai gardé la constante $c$ non nulle pour la vérification. Dans la pratique, on prend $c=0.$
  • Modifié (December 2021)
    @YvesM Je dois réfléchir comment démontrer ta formule. Ce que je sais est que si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$, alors $\int_a^b |f(x)|dx=V_a^b F$ variation totale de $F$ sur $[a,b]$.
    Pour notre $I_n$ tu trouves quoi comme résultat final ?
    @Guego est-ce que maple est capable de donner un résultat pour $I_n$ ?
    Le 😄 Farceur


  • Modifié (December 2021)
    gebrane a dit :
    @Guego est ce que maple est capable de donner un résultat pour $I_n$
    Non, mais il peut les donner au cas par cas (et ça n'est pas très beau) :
    > n:=5:  int(abs(sin((n-1)*x-Pi/(2*n))*cos(n*x)),x=0..2*Pi);                   
    Pi Pi 3 Pi 3 Pi
    20/9 - 16/9 sin(----) - 16/9 cos(----) - 16/9 sin(----) - 16/9 cos(----)
    8 8 8 8
    Pi 2 Pi Pi 2 Pi
    + 5/9 cos(----) - 5/9 sin(----) + 20/9 cos(----) + 20/9 cos(----)
    10 5 5 5
    Pi 3 Pi
    + 20/9 sin(----) + 20/9 sin(----)
    10 10
    > n:=6: int(abs(sin((n-1)*x-Pi/(2*n))*cos(n*x)),x=0..2*Pi);
    1/2
    48 5 Pi Pi 24 3 20 2 Pi 20 Pi
    -- - 6/11 sin(----) + 6/11 cos(----) + ------- - -- sin(----) - -- cos(----)
    11 12 12 11 11 5 11 10

    20 Pi 20 3 Pi
    - -- sin(----) - -- cos(----)
    11 5 11 10

    > n:=7: int(abs(sin((n-1)*x-Pi/(2*n))*cos(n*x)),x=0..2*Pi);
    28 28 Pi 28 5 Pi 3 Pi Pi
    -- + -- sin(----) + -- sin(----) - 7/13 sin(----) + 7/13 cos(----)
    13 13 14 13 14 7 14

    28 3 Pi 28 3 Pi 28 2 Pi 28 Pi
    + -- sin(----) + -- cos(----) + -- cos(----) + -- cos(----)
    13 14 13 7 13 7 13 7

    1/2
    24 Pi 24 5 Pi 24 Pi 24 5 Pi 24 2
    - -- cos(----) - -- cos(----) - -- sin(----) - -- sin(----) - -------
    13 12 13 12 13 12 13 12 13
    Edit : bizarre : quand j'édite mon texte, je vois le code mis en page, mais ça rend mal quand je poste le message.
  • Maple donne quoi pour $I_5$ Guego? Tu peux fournir 20 décimales exactes? Numériquement pari-gp est incapable d'être très précis.
  • Modifié (December 2021)
    Pour $n=5, 6$ et $7$ :
    > n:=5:  evalf[30](int(abs(sin((n-1)*x-Pi/(2*n))*cos(n*x)),x=0..2*Pi));        
    2.54570496377241611519676575832

    > n:=6: evalf[30](int(abs(sin((n-1)*x-Pi/(2*n))*cos(n*x)),x=0..2*Pi));
    2.54686805801345336302299097051

    > n:=7: evalf[30](int(abs(sin((n-1)*x-Pi/(2*n))*cos(n*x)),x=0..2*Pi));
    2.54630603726366153006347691039
  • Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Vous avez calculé $\displaystyle I_1,I_2,I_3,I_4.$ Voici $\displaystyle I_5 \sim 2,54\,570\,496\,377\,241\,611\,(519).$

    La valeur exacte est $\displaystyle I_5 = \int_0^{2\pi} |\cos(5x) \sin(4 x - {\pi\over 10})|dx = {4 \over 9} \Big(5+\sqrt{189+32\sqrt{2}-40 \sqrt{10(2+\sqrt{2})}}\Big).$

    Ces intégrales s'expriment comme une somme de termes. Chaque terme est un nombre rationnel multiplié par un cosinus de $\displaystyle {k \pi\over 2n(n-1)}$ avec $k=0, 1, ... $
    La formule que j'ai donnée ici https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/profile/YvesM donne cette forme aussi indiquée par @Guego
  • Maple est très fort :) YvesM tu as fais comment pour "radicaliser" I_5 comme ça?
    Sinon I_n semble tendre vers une limite. Triviale?
  • Modifié (December 2021)
    Bonjour
    La formule que j'ai donnée est celle utilisée par Maple. Je vois que les programmateurs ne s'embêtent pas : la force brute. 
    Pour utiliser la formule, on écrit $\displaystyle I_n = \int_0^{2 \pi} |\cos(nx) \sin((n-1) x -{\pi \over 2n})| dx = 2 \int_0^{ \pi} |\cos(nx) \sin((n-1) x -{\pi \over 2n}| dx .$
    On a donc : $\displaystyle f(x) = \cos(nx) \sin((n-1) x -{\pi \over 2n})$, $\displaystyle F(x) = {2 n-1 \over 2(2n-1)} \cos (x + {\pi \over 2n}) -  {1\over 2(2n-1)} \cos ((2 n-1)x - {\pi \over 2n})$ et $\displaystyle f'(x) = (n-1) \cos (nx) \cos (( n-1)x - {\pi \over 2n}) - n \sin(nx)  \sin (( n-1)x - {\pi \over 2n}) .$
    On sait résoudre $\displaystyle f(x) = 0$ et on trouve $\displaystyle x_k={2 \pi k -\pi/2 \over n}$, $\displaystyle y_k={2 \pi k +\pi/2 \over n}$, $\displaystyle z_k = {4 \pi n k +\pi \over 2 n (n-1)}$ et $\displaystyle t_k = {2 (2 \pi k + \pi) n + \pi) \over 2 n (n-1)}.$ 
    Le terme tout intégré est nul. 
    Il ne reste donc que $\displaystyle I_n = -4 \sum_{k=1}^K F(a_k) sign f'(a_k)$ où les $a_k$ sont tous les $\displaystyle x_k, y_k, z_k, t_k$ avec $k$ variant dans $\Z$ pour assurer $\displaystyle 0<a_k<\pi.$
    La somme est donc de la forme trouvée précédemment : une somme de termes, chacun un rationnel multiplié par un cosinus...
    Je vous invite à utiliser cette méthode sur $I_3$ à titre d'exercice. Je l'ai fait en 12 minutes. 
    Je ne crois pas que l'on puisse trouver une forme close parce qu'il n'est pas facile de trouver le signe de $f'(a_k)$ dans le cas général. 
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