Série entière

AlphaNico
Modifié (17 May) dans Analyse
Bonjour,
Je sollicite votre aide pour un exercice sur les séries entières...
Si on note $f$ la fonction définie par $f(x)=\frac{1}{2-e^{x}}$, et si on pose $a_{n}=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$, il semblerait qu'on ait l'encadrement
$$ \frac{1}{2 \times \left( \ln(2) \right)^{n}} \leq a_{n} \leq \frac{1}{\left( \ln(2) \right)^{n}} \hspace{8mm} (*) $$
En tous cas, Python permet de le penser !
Je dispose de la formule $a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{a_{n-k}}{k!}$ qui pourrait faire penser à une preuve de $(*)$ à l'aide d'une récurrence forte, mais je parviens seulement à démontrer la majoration (et pas la minoration !).
Est-ce que quelqu'un verrait comment faire ?
Merci d'avance,
Mathieu

Réponses

  • LOU16
    Modifié (December 2021)
    Bonsoir,
    Il me paraît commode ici de mobiliser un peu de "théorie de la variable complexe".
    Soit $g: z\mapsto f(z)-\dfrac 1{2(\log 2-z)}.\qquad $En examinant les singularités de $f$, on voit que $g$ est holomorphe sur le disque ouvert $\mathcal D$ de centre $0$ et de rayon $R= \sqrt {(\log 2)^2+ 4\pi^2}>1.\quad $Ainsi: $\forall z \in \mathcal D,\:\: g(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b_nz^n,\: $ où $ \:\:|b_n|\leqslant M=\max \big\{|g(z)| \mid |z|=1\big \}.$
    $b_n =a_n -\dfrac 1{2(\log2)^{n+1}},\qquad \forall n \in \N, \quad \left| a_n - \dfrac 1{2(\log2)^{n+1}} \right|\leqslant M.$
    Cette inégalité fournit l'équivalent $a_n \underset {n\to +\infty}\sim \dfrac 1{2(\log 2)^{n+1}}$ et pour te convaincre que ton inégalité $(\star)$  (qui est donc vraie à partir d'un certain rang) est valable pour tout $n$, il te suffit de disposer d'une valeur effective  pour $M$, ce qui n'est pas difficile.

  • On peut également démontrer la minoration de $a_n$ avec une récurrence forte mais on a besoin de montrer d'abord l'inégalité $e^{\ln2}\leq1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{(\ln2)^k}{k!}+2\dfrac{(\ln2)^n}{n!}$ en appliquant la formule de Taylor.
    C'est la question I-4°) d'un sujet qui a été donné au concours des Mines en 1999 (Math1 filières PC et PSI).
  • Bonjour,
    Jolie preuve @LOU16.
  • AlphaNico
    Modifié (December 2021)
    Ce forum est fantastique ! Merci à tous pour vos réponses...

    Celle de jandri me plait davantage car elle est du niveau prépa, mais je vais lire avec attention celle de LOU16 dès que j'aurai
    progressé sur les fonctions de la variable complexe.
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