Décomposition des entiers naturels et fonction zêta

Fly7
Modifié (December 2021) dans Shtam
Bonjour
Je partage si jamais ça intéresse quelqu'un.
L'idéal aurait été de retomber sur le produit Eulérien.


$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^s}=\\\sum_{e=0}^{\infty}\lim_{b_{[e+1]}\land a_{[e+1]} \to +\infty}\prod_{d=0}^{e}\sum_{b_{[d]}=1}^{b_{[d+1]}}\sum_{a_{[d]}=1}^{a_{[d+1]}}\frac{1}{(P_{(a_{[d]}+d-1)}^{b_{[d+1]}-b_{[d]}+1})^s}=\\\sum_{e=0}^{\infty}\lim_{a_{[\frac{e(e+1)}{2}+1]} \to +\infty}\prod_{d=0}^{e}(\sum_{b=1}^{d}\sum_{a_{[b+d-1]}=1}^{a_{[b+d]}})\frac{1}{(P_{(a_{[\frac{d(d+1)}{2}]}+d-1)})^s}=\\\sum_{e=0}^{\infty}\prod_{d=0}^{e}\sum_{a_{[d]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(\sum_{b=1}^da_{[b]})})^s-1}$$

Pour $e=0$.

$$1=\\1=\\1$$

Pour $e=1$.

$$\lim_{b_{[2]}\land a_{[2]} \to +\infty}\sum_{b_{[1]}=1}^{b_{[2]}}\sum_{a_{[1]}=1}^{a_{[2]}}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})}^{b_{[2]}-b_{[1]}+1})^s}\times1=\\\lim_{a_{[2]} \to +\infty}\sum_{a_{[1]}=1}^{a_{[2]}}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})})^s-1}\times1=\\1\times\sum_{a_{[1]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})})^s-1}$$


Pour $e=2$.

$$\lim_{b_{[3]}\land a_{[3]} \to +\infty}\sum_{b_{[2]}=1}^{b_{[3]}}\sum_{a_{[2]}=1}^{a_{[3]}}\frac{1}{(P_{(a_{[2]}+1)}^{b_{[3]}-b_{[2]}+1})^s}\times\sum_{b_{[1]}=1}^{b_{[2]}}\sum_{a_{[1]}=1}^{a_{[2]}}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})}^{b_{[2]}-b_{[1]}+1})^s}\times1=\\\lim_{a_{[4]} \to +\infty}\sum_{a_{[3]}=1}^{a_{[4]}}\sum_{a_{[2]}=1}^{a_{[3]}}\frac{1}{(P_{(a_{[3]}+1)})^s-1}\times\sum_{a_{[1]}=1}^{a_{[2]}}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})})^s-1}\times1=\\1\times\sum_{a_{[1]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})})^s-1}\times\sum_{a_{[2]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(a_{[1]}+a_{[2]})})^s-1}$$

Pour $e=3$.

$$\lim_{b_{[4]}\land a_{[4]} \to +\infty}\sum_{b_{[3]}=1}^{b_{[4]}}\sum_{a_{[3]}=1}^{a_{[4]}}\frac{1}{(P_{(a_{[3]}+2)}^{b_{[4]}-b_{[3]}+1})^s}\times\sum_{b_{[2]}=1}^{b_{[3]}}\sum_{a_{[2]}=1}^{a_{[3]}}\frac{1}{(P_{(a_{[2]}+1)}^{b_{[3]}-b_{[2]}+1})^s}\times\sum_{b_{[1]}=1}^{b_{[2]}}\sum_{a_{[1]}=1}^{a_{[2]}}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})}^{b_{[2]}-b_{[1]}+1})^s}\times1=\\\lim_{a_{[7]} \to +\infty}\sum_{a_{[6]}=1}^{a_{[7]}}\sum_{a_{[5]}=1}^{a_{[6]}}\sum_{a_{[4]}=1}^{a_{[5]}}\frac{1}{(P_{(a_{[6]}+2)})^s-1}\times\sum_{a_{[3]}=1}^{a_{[4]}}\sum_{a_{[2]}=1}^{a_{[3]}}\frac{1}{(P_{(a_{[3]}+1)})^s-1}\times\sum_{a_{[1]}=1}^{a_{[2]}}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})})^s-1}\times1=\\1\times\sum_{a_{[1]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})})^s-1}\times\sum_{a_{[2]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(a_{[1]}+a_{[2]})})^s-1}\times\sum_{a_{[3]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(a_{[1]}+a_{[2]}+a_{[3]})})^s-1}$$

Réponses

  • Fly7
    Modifié (November 2022)
    J'ai réécrit les équation de manières a se qu'elles soit plus conventionnel, en espérant ne pas m’être trompé.
    Reste a écrire l'équation 4 et 5, j'ai pas encore eu le temps de m'y pencher.
    Je suis resté bloqué à a=5

    PS : pour a=1 il s'agit de la partie coloriée en jaune.

    $$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^s}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}}\sum_{d_{[b+1]}=1}^{d_{[b]}}\frac{1}{(P_{(c_{[b+1]}+a-b)}^{d_{[b]}-d_{[b+1]}+1})^s}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}}\frac{1}{P^s_{(c_{[b+1]}+a-b)}-1}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b]}=0}^{c}\frac{1}{P^s_{(\sum_{d=1}^b c_{[b]})}-1}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c \to +\infty}\frac{(\sum_{b=1}^c \frac{1}{(P_{(b)})^s-1})^a-\sum_{\left|\vec b\right|=a}^{a-1} {a\choose\vec b} \prod_{d=1}^{c} {\frac{1}{(P_{(b)})^s-1}}_d^{b_d}}{\frac{a!}{\prod_{d=1}^c b_d!}}=\\\lim_{a \to +\infty}1+\sum^a_{c_{[0]}=0}((\sum^{c_{[0]}}_{b=0}\sum^{c_{[2b]}}_{c_{[2b+1]}=0}\prod^{c_{[2b+1]}}_{c_{[2b+2]}=0})\frac{1}{(P_{(\sum^{c_{[0]}}_{d=0}c_{[2d]}-c_{[2d+1]})})^s-1})\times \sum^{+\infty}_{b=0}\frac{1}{(P_{(b+c_{[0]})})^s-1}$$
    Vite fait un truc qui ressemble a ça, la partie du bas est un brouillon pas fini qui décompose les étapes.
    Pour $a=0$.

    $$1=\\1=\\1=\\1=\\1$$

    Pour $a=1$.

    $$\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}1\times\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\sum_{d_{[2]}=1}^{d_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]})}^{d_{[1]}-d_{[2]}+1})^s}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}1\times\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]})})^s-1}=\\1\times\sum_{c_{[1]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(c_{[1]})})^s-1}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}1\times(\sum_{c[2]=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{{(p_{(c[2])})}^s-1})^1=\\\frac{1\times(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})^1}{1}$$

    Pour $a=2$.

    $$\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}1\times\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\sum_{d_{[2]}=1}^{d_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}+1)}^{d_{[1]}-d_{[2]}+1})^s}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{c_{[2]}}\sum_{d_{[3]}=1}^{d_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]})}^{d_{[2]}-d_{[3]}+1})^s}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}1\times\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}+1)})^s-1}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{c_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]})})^s-1}=\\1\times\sum_{c_{[1]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(c_{[1]})})^s-1}\times\sum_{c_{[2]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(c_{[1]}+c_{[2]})})^s-1}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}1\times((\sum_{c_{[2]}=2}^{c_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}))})^s-1}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{c_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]})})^s-1})-\sum_{c_{[2]}=2}^{c_{[1]}}\frac{1}{((P_{(c_{[2]}))})^s-1)^2})=\\1\times(\frac{(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})^2-\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})^s-1)}^2}}{2})$$

    Pour $a=3$.

    $$\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}\times1\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\sum_{d_{[2]}=1}^{d_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}+2)}^{d_{[1]}-d_{[2]}+1})^s}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{c_{[2]}}\sum_{d_{[3]}=1}^{d_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]}+1)}^{d_{[2]}-d_{[3]}+1})^s}\times\sum_{c_{[4]}=1}^{c_{[3]}}\sum_{d_{[4]}=1}^{d_{[3]}}\frac{1}{(P_{(c_{[4]})}^{d_{[3]}-d_{[4]}+1})^s}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}1\times\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}+2)})^s-1}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{c_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]}+1)})^s-1}\times\sum_{c_{[4]}=1}^{c_{[3]}}\frac{1}{(P_{(c_{[4]})})^s-1}=\\1\times\sum_{c_{[1]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(c_{[1]})})^s-1}\times\sum_{c_{[2]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(c_{[1]}+c_{[2]})})^s-1}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(c_{[1]}+c_{[2]}+c_{[3]})})^s-1}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}(\sum_{c_{[2]}=3}^{c_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}))})^s-1}\times\sum_{c_{[3]}=2}^{c_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]})})^s-1}\times\sum_{c_{[4]}=1}^{c_{[3]}}\frac{1}{(P_{(c_{[4]}))})^s-1})-(\sum_{c_{[2]}=3}^{c_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}))})^s-1}\times\sum_{c_{[3]}=2}^{c_{[2]}}\frac{1}{((P_{(c_{[3]})})^s-1)^2})-(\sum_{c_{[2]}=3}^{c_{[1]}}\frac{1}{((P_{(c_{[2]}))})^s-1)^2}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{c_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]})})^s-1})+\sum_{c_{[2]}=3}^{c_{[1]}}\frac{1}{((P_{(c_{[2]}))})^s-1)^3}=\\\frac{\frac{((\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})^2-(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})^s-1)^2}}))}{2}\times(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})-(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})\times(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})}^s-1)^2})+(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})}^s-1)^3})}{3}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}\frac{-(\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{{(p_{(c_{[2]})})}^s-1})^3+\frac{3((\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{{(p_{(c_{[2]})})}^s-1})^2-(\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{{((p_{(c_{[1]})})^s-1)^2}}))}{2}\times (\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{{(p_{(c_{[1]})})}^s-1})+\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{({(p_{(c_{[2]})})}^s-1)^3}}{3}$$

    Pour $a=4$.

    $$\frac{(\frac{(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})^2-\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})^s-1)}^2}}{2})^2-((\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})^2-\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})^s-1)}^2})(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})^s-1)}^2})+2(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{({(p_{(c)})}^s-1)^2})-2(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{({(p_{(c)})}^s-1)^4})-(\frac{(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{({(p_{(c)})}^s-1)^2})^2-\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})^s-1)}^4}}{2})}{6}$$

    Demain j’essaierais de voir quelque chose dans tout se bordel.

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_multinôme_de_Newton

    fouiner par la aussi:

    https://books.google.fr/books?id=kEHo9X_B7_0C&pg=PA3&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

  • Fly7
    Modifié (November 2022)

    Calligraphie du dimanche.

    Si jamais quelqu’un comprend et que ça avait une utilité, je partage.

    $$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^s}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}}\sum_{d_{[b+1]}=1}^{d_{[b]}}\frac{1}{(P_{(c_{[b+1]}+a-b)}^{d_{[b]}-d_{[b+1]}+1})^s}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}}\frac{1}{P^s_{(c_{[b+1]}+a-b)}-1}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b]}=0}^{c}\frac{1}{P^s_{(\sum_{d=1}^b c_{[b]})}-1}=\\1+\sum^{+\infty}_{c_{[0]}=0}(\sum^{c_{[0]}}_{b=0}[\sum^{c_{[2b]}}_{c_{[2b+1]}=0}\prod^{c_{[2b+1]}}_{c_{[2b+2]}=0})\frac{1}{P_{(\sum^{c_{[0]}}_{d=0}c_{[2d]}-c_{[2d+1]})}^s-1}]\times \sum^{+\infty}_{b=0}\frac{1}{P_{(b+c_{[0]})}^s-1}$$

  • C’est quoi P ?
    Je suis donc je pense 
  • Fly7
    Modifié (November 2022)
    La suite des nombres premiers.
    $P_{(0)}=2; P_{(1)}=3; P_{(6)}=17$
    PS: Les messages avant le 13 novembre sont des brouillons, pas forcément juste.
  • Quentino37
    Modifié (November 2022)
    Attend… tu publies tes brouillons ???
    Je suis donc je pense 
  • D'un autre côté on est dans Shtam...
  • Donc si j’ai bien compris il réécrit de manière compliqué le produit eurélien ?
    Je suis donc je pense 
  • Aucune idée, je ne lis pas les pavés pleins de formules comme ça.
  • Dans un de ses messages il parle de calligraphie du dimanche…
    Je suis donc je pense 
  • Fly7
    Modifié (November 2022)
    Ce n'est pas le produit Eulérien.
    La première égalité décrit de manière brute la décomposition de chaque nombre en produit de nombres premiers avec les puissances.
    La deuxième égalité se débarrasse des puissances.
    Puis les autres égalités sont des manières différentes d’écrire.
    Après comme je ne sais pas quoi faire de tout ça, je partage des fois que ça inspire quelqu’un.

    C'est bien pratique d'enregistrer des brouillons sur les-mathematiques.net.
    Je ne publie rien, je n'ai pas de prétention, j'enregistre juste ce que je pensais être une bonne idée un constat mais qui n’était pas aboutie.
  • Fly7
    Modifié (November 2022)
    Dernière trouvaille
    \begin{align*}
    \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^s}
    &=\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}}\sum_{d_{[b+1]}=1}^{d_{[b]}} \frac{1} {(P_{( c_{[b+1]}+a-b)}^{d_{[b]} -d_{[b+1]}+1})^s}\\
    &=\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}} \frac{1} {P^s_{(c_{[b+1]}+a-b)}-1}\\
    &=\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b]}=0}^{c} \frac{1} {P^s_{(\sum_{d=1}^b c_{[b]})}-1}\\
    &=1+\sum^{+\infty}_{c_{[0]}=0} \Big(\sum^{c_{[0]}}_{b=0}\Big[\sum^{c_{[2b]}}_{c_{[2b+1]}=0}\prod^{c_{[2b+1]}}_{c_{[2b+2]}=0}\Big) \frac{1} { P_{(\sum^{c_{[0]}}_{d=0}c_{[2d]}-c_{[2d+1]})}^s-1} \Big]\times \sum^{+\infty}_{b=0} \frac{1} {P_{(b+c_{[0]})}^s-1}\\
    &= 1+\sum^{+\infty}_{b=0}\frac {(\prod^{b}_{c=0}P_{(c-1)}^s)} {(\prod^{b}_{d=0}P_{(d)}^s-1)}\times \sum^{+\infty}_{e=0}\frac{1} {P_{(e+b)}^s-1}
    \end{align*}
    [Chez moi, ça compile (voir ci-dessous) ! AD]

  • Fly7
    Modifié (November 2022)
    Désolé, Je ne suis pas un rapide.
    Je pense ne pas pouvoir simplifier davantage.
    \begin{align*}
    \\\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^s}
    &=\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}}\sum_{d_{[b+1]}=1}^{d_{[b]}} \frac{1} {(P_{(
    c_{[b+1]}+a-b)}^{d_{[b]} -d_{[b+1]}+1})^s}\\
    &=\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}} \frac{1} {P^s_{(c_{[b+1]}+a-b)}-1}\\
    &=\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b]}=0}^{c} \frac{1} {P^s_{(\sum_{d=1}^b c_{[b]})}-1}\\
    &=1+\sum^{+\infty}_{a_{[0]}=0} \Big(\sum^{a_{[0]}}_{b=0}\Big[\sum^{a_{[2b]}}_{a_{[2b+1]}=0}\prod^{a_{[2b+1]}}_{a_{[2b+2]}=0}\Big) \frac{1} { P_{(\sum^{a_{[0]}}_{c=0}a_{[2c]}-a_{[2c+1]})}^s-1} \Big]\times \sum^{+\infty}_{d=0} \frac{1} {P_{(d+a_{[0]})}^s-1}\\
    &= 1+\sum^{+\infty}_{a=0}\Big(\prod^{a}_{b=0}\frac {P_{(b-1)}^s} {P_{(b)}^s-1}\Big)\times \sum^{+\infty}_{c=0}\frac{1} {P_{(c+a)}^s-1}\\
    &=1+\sum^{+\infty}_{a=0}\frac{1}{P^s_{(a)}-1}\times\sum^{a}_{b=0}\prod^b_{c=0}\frac{P^s_{(c-1)}}{P^s_{(c)}-1}
    \end{align*}
    PS. $\forall X,\ \prod^0_{a=0}X=1$.
  • Fly77
    Modifié (17 Apr)

    Bonjour,

    Je publie mon premier programme Python sans écrire de code, utilisant ChatGPT 3.5 pour vérifier si mes calculs sont corrects. Première agréable surprise, je n'ai pas commis d'erreur de raisonnement. Deuxième surprise, j'avais sous-estimé ChatGPT ; il est vraiment impressionnant. Si j'avais dû écrire le code moi-même, cela m'aurait pris un temps fou.

    PS : Le programme donne un résultat cohérent uniquement pour les puissances positives différentes de zéro. En ce qui concerne zéro, il va de soi que la division par zéro est impossible. Par contre, je ne comprends pas bien le fonctionnement pour les puissances négatives.

    PS2: Fly7 C'est moi, j'ai dû ouvrir plusieurs comptes.

    Vous pouvez comparer avec quelques valeurs sur wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Valeurs_particuli%C3%A8res_de_la_fonction_z%C3%AAta_de_Riemann

    Évidement plus le terme est élevé plus zêta sera précis.

    Merci.

    from sympy import prime


    def inverse_sum_of_primes_power(n_terms, power):

        sum_total = 0

        

        for a in range(n_terms):

            sum_inner = 1  # Initialiser le produit à 1

            

            for b in range(a + 1):

                if b > 0:  # Utiliser la formule normale lorsque b > 0

                    prime_power = prime(b) ** power

                    sum_inner *= prime_power / (prime_power - 1)  # Modifier le produit intérieur

            

            sum_total += 1 / (prime(a + 1) ** power - 1) * sum_inner

        

        return 1 + sum_total


    # Demander à l'utilisateur la valeur de la puissance

    power = int(input("Entrez la valeur de la puissance pour élever les nombres premiers : "))


    # Nombre de termes à utiliser

    n = int(input("Entrez le nombre de termes : "))


    # Calcul de la somme

    result = inverse_sum_of_primes_power(n, power)

    print(f"La somme est environ : {result}")

  • Fly77
    Modifié (20 Apr)
    Je ne suis pas sûr du résultat, mais je pense que cette version accepte les nombres complexes. Vous pouvez tester les zéros non triviaux sur https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann#Les_z%C3%A9ros_non_triviaux

    Le résultat n'est pas satisfaisant pour 200 termes partie réel 0.5 partie imaginaire 14.13472514173469379 j'ai 0.056611297387219 + 0.0288241395523395*I
    Peut être que le problème viens du nombre de décimales après la virgule.

    Meme avec le produit Eulérien je n'arrive pas a un résultat proche de zéro:
    Entrez la partie réelle de s : 0.5
    Entrez la partie imaginaire de s : 14.1347251417346937904572519835624702707842571156992431756855674601499
    Entrez le nombre de termes : 100000
    Le résultat obtenu est : -0.00247521399217355 + 0.012848004340408*I
    l'explication vient de la:
    Sa définition et sa formule sont en fait valides sur tout le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1.


    from sympy import prime, I

    def inverse_sum_of_primes_power(n_terms, power):
        sum_total = 0
        
        for a in range(n_terms):
            sum_inner = 1  # Initialiser le produit à 1
            
            for b in range(a + 1):
                if b > 0:  # Utiliser la formule normale lorsque b > 0
                    prime_power = prime(b) ** power
                    sum_inner *= prime_power / (prime_power - 1)  # Modifier le produit intérieur
            
            sum_total += 1 / (prime(a + 1) ** power - 1) * sum_inner
        
        return 1 + sum_total

    # Demander à l'utilisateur la partie réelle de la puissance
    real_part = float(input("Entrez la partie réelle de la puissance pour élever les nombres premiers : "))

    # Demander à l'utilisateur la partie imaginaire de la puissance
    imag_part = float(input("Entrez la partie imaginaire de la puissance pour élever les nombres premiers : "))

    # Créer la puissance complexe
    power = real_part + imag_part * I

    # Nombre de termes à utiliser
    n = int(input("Entrez le nombre de termes : "))

    # Calcul de la somme
    result = inverse_sum_of_primes_power(n, power)

    # Convertir l'expression en une valeur numérique
    numeric_result = result.evalf()

    print(f"La somme est environ : {numeric_result}")
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