Décomposition des entiers naturels et fonction zêta

Fly7

Bonjour
Je partage si jamais ça intéresse quelqu'un.
L'idéal aurait été de retomber sur le produit Eulérien.


$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^s}=\\\sum_{e=0}^{\infty}\lim_{b_{[e+1]}\land a_{[e+1]} \to +\infty}\prod_{d=0}^{e}\sum_{b_{[d]}=1}^{b_{[d+1]}}\sum_{a_{[d]}=1}^{a_{[d+1]}}\frac{1}{(P_{(a_{[d]}+d-1)}^{b_{[d+1]}-b_{[d]}+1})^s}=\\\sum_{e=0}^{\infty}\lim_{a_{[\frac{e(e+1)}{2}+1]} \to +\infty}\prod_{d=0}^{e}(\sum_{b=1}^{d}\sum_{a_{[b+d-1]}=1}^{a_{[b+d]}})\frac{1}{(P_{(a_{[\frac{d(d+1)}{2}]}+d-1)})^s}=\\\sum_{e=0}^{\infty}\prod_{d=0}^{e}\sum_{a_{[d]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(\sum_{b=1}^da_{[b]})})^s-1}$$

Pour $e=0$.

$$1=\\1=\\1$$

Pour $e=1$.

$$\lim_{b_{[2]}\land a_{[2]} \to +\infty}\sum_{b_{[1]}=1}^{b_{[2]}}\sum_{a_{[1]}=1}^{a_{[2]}}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})}^{b_{[2]}-b_{[1]}+1})^s}\times1=\\\lim_{a_{[2]} \to +\infty}\sum_{a_{[1]}=1}^{a_{[2]}}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})})^s-1}\times1=\\1\times\sum_{a_{[1]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})})^s-1}$$

Pour $e=2$.

$$\lim_{b_{[3]}\land a_{[3]} \to +\infty}\sum_{b_{[2]}=1}^{b_{[3]}}\sum_{a_{[2]}=1}^{a_{[3]}}\frac{1}{(P_{(a_{[2]}+1)}^{b_{[3]}-b_{[2]}+1})^s}\times\sum_{b_{[1]}=1}^{b_{[2]}}\sum_{a_{[1]}=1}^{a_{[2]}}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})}^{b_{[2]}-b_{[1]}+1})^s}\times1=\\\lim_{a_{[4]} \to +\infty}\sum_{a_{[3]}=1}^{a_{[4]}}\sum_{a_{[2]}=1}^{a_{[3]}}\frac{1}{(P_{(a_{[3]}+1)})^s-1}\times\sum_{a_{[1]}=1}^{a_{[2]}}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})})^s-1}\times1=\\1\times\sum_{a_{[1]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})})^s-1}\times\sum_{a_{[2]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(a_{[1]}+a_{[2]})})^s-1}$$

Pour $e=3$.

$$\lim_{b_{[4]}\land a_{[4]} \to +\infty}\sum_{b_{[3]}=1}^{b_{[4]}}\sum_{a_{[3]}=1}^{a_{[4]}}\frac{1}{(P_{(a_{[3]}+2)}^{b_{[4]}-b_{[3]}+1})^s}\times\sum_{b_{[2]}=1}^{b_{[3]}}\sum_{a_{[2]}=1}^{a_{[3]}}\frac{1}{(P_{(a_{[2]}+1)}^{b_{[3]}-b_{[2]}+1})^s}\times\sum_{b_{[1]}=1}^{b_{[2]}}\sum_{a_{[1]}=1}^{a_{[2]}}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})}^{b_{[2]}-b_{[1]}+1})^s}\times1=\\\lim_{a_{[7]} \to +\infty}\sum_{a_{[6]}=1}^{a_{[7]}}\sum_{a_{[5]}=1}^{a_{[6]}}\sum_{a_{[4]}=1}^{a_{[5]}}\frac{1}{(P_{(a_{[6]}+2)})^s-1}\times\sum_{a_{[3]}=1}^{a_{[4]}}\sum_{a_{[2]}=1}^{a_{[3]}}\frac{1}{(P_{(a_{[3]}+1)})^s-1}\times\sum_{a_{[1]}=1}^{a_{[2]}}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})})^s-1}\times1=\\1\times\sum_{a_{[1]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(a_{[1]})})^s-1}\times\sum_{a_{[2]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(a_{[1]}+a_{[2]})})^s-1}\times\sum_{a_{[3]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(a_{[1]}+a_{[2]}+a_{[3]})})^s-1}$$

Fly7

J'ai réécrit les équation de manières a se qu'elles soit plus conventionnel, en espérant ne pas m’être trompé.
Reste a écrire l'équation 4 et 5, j'ai pas encore eu le temps de m'y pencher.
Je suis resté bloqué à a=5
PS : pour a=1 il s'agit de la partie coloriée en jaune.

$$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^s}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}}\sum_{d_{[b+1]}=1}^{d_{[b]}}\frac{1}{(P_{(c_{[b+1]}+a-b)}^{d_{[b]}-d_{[b+1]}+1})^s}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}}\frac{1}{P^s_{(c_{[b+1]}+a-b)}-1}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b]}=0}^{c}\frac{1}{P^s_{(\sum_{d=1}^b c_{[b]})}-1}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c \to +\infty}\frac{(\sum_{b=1}^c \frac{1}{(P_{(b)})^s-1})^a-\sum_{\left|\vec b\right|=a}^{a-1} {a\choose\vec b} \prod_{d=1}^{c} {\frac{1}{(P_{(b)})^s-1}}_d^{b_d}}{\frac{a!}{\prod_{d=1}^c b_d!}}=\\\lim_{a \to +\infty}1+\sum^a_{c_{[0]}=0}((\sum^{c_{[0]}}_{b=0}\sum^{c_{[2b]}}_{c_{[2b+1]}=0}\prod^{c_{[2b+1]}}_{c_{[2b+2]}=0})\frac{1}{(P_{(\sum^{c_{[0]}}_{d=0}c_{[2d]}-c_{[2d+1]})})^s-1})\times \sum^{+\infty}_{b=0}\frac{1}{(P_{(b+c_{[0]})})^s-1}$$
Vite fait un truc qui ressemble a ça, la partie du bas est un brouillon pas fini qui décompose les étapes.
Pour $a=0$.

$$1=\\1=\\1=\\1=\\1$$

Pour $a=1$.

$$\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}1\times\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\sum_{d_{[2]}=1}^{d_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]})}^{d_{[1]}-d_{[2]}+1})^s}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}1\times\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]})})^s-1}=\\1\times\sum_{c_{[1]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(c_{[1]})})^s-1}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}1\times(\sum_{c[2]=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{{(p_{(c[2])})}^s-1})^1=\\\frac{1\times(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})^1}{1}$$

Pour $a=2$.

$$\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}1\times\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\sum_{d_{[2]}=1}^{d_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}+1)}^{d_{[1]}-d_{[2]}+1})^s}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{c_{[2]}}\sum_{d_{[3]}=1}^{d_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]})}^{d_{[2]}-d_{[3]}+1})^s}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}1\times\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}+1)})^s-1}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{c_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]})})^s-1}=\\1\times\sum_{c_{[1]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(c_{[1]})})^s-1}\times\sum_{c_{[2]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(c_{[1]}+c_{[2]})})^s-1}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}1\times((\sum_{c_{[2]}=2}^{c_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}))})^s-1}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{c_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]})})^s-1})-\sum_{c_{[2]}=2}^{c_{[1]}}\frac{1}{((P_{(c_{[2]}))})^s-1)^2})=\\1\times(\frac{(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})^2-\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})^s-1)}^2}}{2})$$

Pour $a=3$.

$$\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}\times1\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\sum_{d_{[2]}=1}^{d_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}+2)}^{d_{[1]}-d_{[2]}+1})^s}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{c_{[2]}}\sum_{d_{[3]}=1}^{d_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]}+1)}^{d_{[2]}-d_{[3]}+1})^s}\times\sum_{c_{[4]}=1}^{c_{[3]}}\sum_{d_{[4]}=1}^{d_{[3]}}\frac{1}{(P_{(c_{[4]})}^{d_{[3]}-d_{[4]}+1})^s}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}1\times\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}+2)})^s-1}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{c_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]}+1)})^s-1}\times\sum_{c_{[4]}=1}^{c_{[3]}}\frac{1}{(P_{(c_{[4]})})^s-1}=\\1\times\sum_{c_{[1]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(c_{[1]})})^s-1}\times\sum_{c_{[2]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(c_{[1]}+c_{[2]})})^s-1}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{\infty}\frac{1}{(P_{(c_{[1]}+c_{[2]}+c_{[3]})})^s-1}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}(\sum_{c_{[2]}=3}^{c_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}))})^s-1}\times\sum_{c_{[3]}=2}^{c_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]})})^s-1}\times\sum_{c_{[4]}=1}^{c_{[3]}}\frac{1}{(P_{(c_{[4]}))})^s-1})-(\sum_{c_{[2]}=3}^{c_{[1]}}\frac{1}{(P_{(c_{[2]}))})^s-1}\times\sum_{c_{[3]}=2}^{c_{[2]}}\frac{1}{((P_{(c_{[3]})})^s-1)^2})-(\sum_{c_{[2]}=3}^{c_{[1]}}\frac{1}{((P_{(c_{[2]}))})^s-1)^2}\times\sum_{c_{[3]}=1}^{c_{[2]}}\frac{1}{(P_{(c_{[3]})})^s-1})+\sum_{c_{[2]}=3}^{c_{[1]}}\frac{1}{((P_{(c_{[2]}))})^s-1)^3}=\\\frac{\frac{((\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})^2-(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})^s-1)^2}}))}{2}\times(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})-(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})\times(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})}^s-1)^2})+(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})}^s-1)^3})}{3}=\\\lim_{c_{[1]} \to +\infty}\frac{-(\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{{(p_{(c_{[2]})})}^s-1})^3+\frac{3((\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{{(p_{(c_{[2]})})}^s-1})^2-(\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{{((p_{(c_{[1]})})^s-1)^2}}))}{2}\times (\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{{(p_{(c_{[1]})})}^s-1})+\sum_{c_{[2]}=1}^{c_{[1]}}\frac{1}{({(p_{(c_{[2]})})}^s-1)^3}}{3}$$

Pour $a=4$.

$$\frac{(\frac{(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})^2-\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})^s-1)}^2}}{2})^2-((\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})^2-\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})^s-1)}^2})(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})^s-1)}^2})+2(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{(p_{(c)})}^s-1})(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{({(p_{(c)})}^s-1)^2})-2(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{({(p_{(c)})}^s-1)^4})-(\frac{(\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{({(p_{(c)})}^s-1)^2})^2-\sum_{c=1}^{\infty}\frac{1}{{((p_{(c)})^s-1)}^4}}{2})}{6}$$

Demain j’essaierais de voir quelque chose dans tout se bordel.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_multinôme_de_Newton

fouiner par la aussi:

https://books.google.fr/books?id=kEHo9X_B7_0C&pg=PA3&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

Fly7

Calligraphie du dimanche.

Si jamais quelqu’un comprend et que ça avait une utilité, je partage.

$$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^s}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}}\sum_{d_{[b+1]}=1}^{d_{[b]}}\frac{1}{(P_{(c_{[b+1]}+a-b)}^{d_{[b]}-d_{[b+1]}+1})^s}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}}\frac{1}{P^s_{(c_{[b+1]}+a-b)}-1}=\\\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b]}=0}^{c}\frac{1}{P^s_{(\sum_{d=1}^b c_{[b]})}-1}=\\1+\sum^{+\infty}_{c_{[0]}=0}(\sum^{c_{[0]}}_{b=0}[\sum^{c_{[2b]}}_{c_{[2b+1]}=0}\prod^{c_{[2b+1]}}_{c_{[2b+2]}=0})\frac{1}{P_{(\sum^{c_{[0]}}_{d=0}c_{[2d]}-c_{[2d+1]})}^s-1}]\times \sum^{+\infty}_{b=0}\frac{1}{P_{(b+c_{[0]})}^s-1}$$

Quentino37

C’est quoi P ?

Fly7

La suite des nombres premiers.
$P_{(0)}=2; P_{(1)}=3; P_{(6)}=17$
PS: Les messages avant le 13 novembre sont des brouillons, pas forcément juste.

Quentino37

Attend… tu publies tes brouillons ???

raoul.S

D'un autre côté on est dans Shtam...

Quentino37

Donc si j’ai bien compris il réécrit de manière compliqué le produit eurélien ?

raoul.S

Aucune idée, je ne lis pas les pavés pleins de formules comme ça.

Quentino37

Dans un de ses messages il parle de calligraphie du dimanche…

Fly7

Ce n'est pas le produit Eulérien.
La première égalité décrit de manière brute la décomposition de chaque nombre en produit de nombres premiers avec les puissances.
La deuxième égalité se débarrasse des puissances.
Puis les autres égalités sont des manières différentes d’écrire.
Après comme je ne sais pas quoi faire de tout ça, je partage des fois que ça inspire quelqu’un.

C'est bien pratique d'enregistrer des brouillons sur les-mathematiques.net.
Je ne publie rien, je n'ai pas de prétention, j'enregistre juste ce que je pensais être une bonne idée un constat mais qui n’était pas aboutie.

Fly7

Dernière trouvaille
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^s}
&=\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}}\sum_{d_{[b+1]}=1}^{d_{[b]}} \frac{1} {(P_{( c_{[b+1]}+a-b)}^{d_{[b]} -d_{[b+1]}+1})^s}\\
&=\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}} \frac{1} {P^s_{(c_{[b+1]}+a-b)}-1}\\
&=\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b]}=0}^{c} \frac{1} {P^s_{(\sum_{d=1}^b c_{[b]})}-1}\\
&=1+\sum^{+\infty}_{c_{[0]}=0} \Big(\sum^{c_{[0]}}_{b=0}\Big[\sum^{c_{[2b]}}_{c_{[2b+1]}=0}\prod^{c_{[2b+1]}}_{c_{[2b+2]}=0}\Big) \frac{1} { P_{(\sum^{c_{[0]}}_{d=0}c_{[2d]}-c_{[2d+1]})}^s-1} \Big]\times \sum^{+\infty}_{b=0} \frac{1} {P_{(b+c_{[0]})}^s-1}\\
&= 1+\sum^{+\infty}_{b=0}\frac {(\prod^{b}_{c=0}P_{(c-1)}^s)} {(\prod^{b}_{d=0}P_{(d)}^s-1)}\times \sum^{+\infty}_{e=0}\frac{1} {P_{(e+b)}^s-1}
\end{align*}

[Chez moi, ça compile (voir ci-dessous) ! AD]

Fly7

Désolé, Je ne suis pas un rapide.
Je pense ne pas pouvoir simplifier davantage.
\begin{align*}
\\\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^s}
&=\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]}\land d_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}}\sum_{d_{[b+1]}=1}^{d_{[b]}} \frac{1} {(P_{(
c_{[b+1]}+a-b)}^{d_{[b]} -d_{[b+1]}+1})^s}\\
&=\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c_{[1]} \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b+1]}=0}^{c_{[b]}} \frac{1} {P^s_{(c_{[b+1]}+a-b)}-1}\\
&=\sum_{a=0}^{+\infty}\lim_{c \to +\infty}\prod_{b=0}^{a}\sum_{c_{[b]}=0}^{c} \frac{1} {P^s_{(\sum_{d=1}^b c_{[b]})}-1}\\
&=1+\sum^{+\infty}_{a_{[0]}=0} \Big(\sum^{a_{[0]}}_{b=0}\Big[\sum^{a_{[2b]}}_{a_{[2b+1]}=0}\prod^{a_{[2b+1]}}_{a_{[2b+2]}=0}\Big) \frac{1} { P_{(\sum^{a_{[0]}}_{c=0}a_{[2c]}-a_{[2c+1]})}^s-1} \Big]\times \sum^{+\infty}_{d=0} \frac{1} {P_{(d+a_{[0]})}^s-1}\\
&= 1+\sum^{+\infty}_{a=0}\Big(\prod^{a}_{b=0}\frac {P_{(b-1)}^s} {P_{(b)}^s-1}\Big)\times \sum^{+\infty}_{c=0}\frac{1} {P_{(c+a)}^s-1}\\
&=1+\sum^{+\infty}_{a=0}\frac{1}{P^s_{(a)}-1}\times\sum^{a}_{b=0}\prod^b_{c=0}\frac{P^s_{(c-1)}}{P^s_{(c)}-1}
\end{align*}
PS. $\forall X,\ \prod^0_{a=0}X=1$.

Fly77

Bonjour,

Je publie mon premier programme Python sans écrire de code, utilisant ChatGPT 3.5 pour vérifier si mes calculs sont corrects. Première agréable surprise, je n'ai pas commis d'erreur de raisonnement. Deuxième surprise, j'avais sous-estimé ChatGPT ; il est vraiment impressionnant. Si j'avais dû écrire le code moi-même, cela m'aurait pris un temps fou.

PS : Le programme donne un résultat cohérent uniquement pour les puissances positives différentes de zéro. En ce qui concerne zéro, il va de soi que la division par zéro est impossible. Par contre, je ne comprends pas bien le fonctionnement pour les puissances négatives.

PS2: Fly7 C'est moi, j'ai dû ouvrir plusieurs comptes.

Vous pouvez comparer avec quelques valeurs sur wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Valeurs_particuli%C3%A8res_de_la_fonction_z%C3%AAta_de_Riemann

Évidement plus le terme est élevé plus zêta sera précis.

Merci.

from sympy import prime


def inverse_sum_of_primes_power(n_terms, power):

    sum_total = 0

    

    for a in range(n_terms):

        sum_inner = 1  # Initialiser le produit à 1

        

        for b in range(a + 1):

            if b > 0:  # Utiliser la formule normale lorsque b > 0

                prime_power = prime(b) ** power

                sum_inner *= prime_power / (prime_power - 1)  # Modifier le produit intérieur

        

        sum_total += 1 / (prime(a + 1) ** power - 1) * sum_inner

    

    return 1 + sum_total


# Demander à l'utilisateur la valeur de la puissance

power = int(input("Entrez la valeur de la puissance pour élever les nombres premiers : "))


# Nombre de termes à utiliser

n = int(input("Entrez le nombre de termes : "))


# Calcul de la somme

result = inverse_sum_of_primes_power(n, power)

print(f"La somme est environ : {result}")

Fly77

Je ne suis pas sûr du résultat, mais je pense que cette version accepte les nombres complexes. Vous pouvez tester les zéros non triviaux sur https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann#Les_z%C3%A9ros_non_triviaux

Le résultat n'est pas satisfaisant pour 200 termes partie réel 0.5 partie imaginaire 14.13472514173469379 j'ai 0.056611297387219 + 0.0288241395523395*I
Peut être que le problème viens du nombre de décimales après la virgule.

Meme avec le produit Eulérien je n'arrive pas a un résultat proche de zéro:

Entrez la partie réelle de s : 0.5

Entrez la partie imaginaire de s : 14.1347251417346937904572519835624702707842571156992431756855674601499

Entrez le nombre de termes : 100000

Le résultat obtenu est : -0.00247521399217355 + 0.012848004340408*I
l'explication vient de la:
Sa définition et sa formule sont en fait valides sur tout le demi-plan des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à 1.

from sympy import prime, I

def inverse_sum_of_primes_power(n_terms, power):
    sum_total = 0
    
    for a in range(n_terms):
        sum_inner = 1  # Initialiser le produit à 1
        
        for b in range(a + 1):
            if b > 0:  # Utiliser la formule normale lorsque b > 0
                prime_power = prime(b) ** power
                sum_inner *= prime_power / (prime_power - 1)  # Modifier le produit intérieur
        
        sum_total += 1 / (prime(a + 1) ** power - 1) * sum_inner
    
    return 1 + sum_total

# Demander à l'utilisateur la partie réelle de la puissance
real_part = float(input("Entrez la partie réelle de la puissance pour élever les nombres premiers : "))

# Demander à l'utilisateur la partie imaginaire de la puissance
imag_part = float(input("Entrez la partie imaginaire de la puissance pour élever les nombres premiers : "))

# Créer la puissance complexe
power = real_part + imag_part * I

# Nombre de termes à utiliser
n = int(input("Entrez le nombre de termes : "))

# Calcul de la somme
result = inverse_sum_of_primes_power(n, power)

# Convertir l'expression en une valeur numérique
numeric_result = result.evalf()

print(f"La somme est environ : {numeric_result}")