Épreuve du capes externe 1984

Lacouette
Modifié (December 2021) dans Analyse
Bonjour, je cherche à refaire mon sujet de capes externe 1984. 
dire que j'ai été capable de surfer la dessus. 
Je bloque dès I-1-a. 
De l'aide? 

Réponses

  • Héhéhé
    Modifié (December 2021)
    On cherche les fonctions $f : \mathbb R \to \mathbb R$ dérivables telles que $f'(t) = e^t\,f(t)$. Nous sommes dans les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, en particulier pour tout $C \in \mathbb R$ il y a existence et unicité de la solution vérifiant $f(0) = C$.
    Si $C = 0$, la solution correspondante est la fonction nulle.
    Si $C \neq 0$, la solution ne s'annule jamais (par unicité), on a donc pour tout $t \in \mathbb R$
    $$ \frac{f'(t)}{f(t)} = e^t$$
    Il suffit alors d'intégrer ça pour trouver la solution $f(t) =C\,e^{e^t}$.
  • Hum, Cauchy Lipchitz pour un exo de premiere annee d'enseignement superieur? Je dirais plutot que si $g(t)=f(t)e^{-e^t}$ alors $g'(t)=0.$
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