C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié du xviie siècle, a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe – lui-même les appelait « touchantes ». Le marquis de l'Hospital contribue à diffuser le calcul différentiel de Leibniz à la fin du xviie siècle grâce à son livre sur l'analyse des infiniment petits.
John Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales qui portent son nom), contribue également à l'essor de l'analyse différentielle.
Néanmoins cette théorie tout juste éclose n'est pas encore, à l'époque, pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait exigée, et notamment la notion d'infiniment petit introduite par Newton, qui tient plus de l'intuitif, et qui pourrait engendrer des erreurs dès lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable. C'est au xviiie siècle que d'Alembert introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement – sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose un problème : {\displaystyle \mathbb {R} }
Dans le lemme 1 des Principia, p. 37, Newton avait déjà donné une définition assez moderne de la notion de limite, au formalisme près : « Les quantités et les raisons des quantités qui tendent continuellement à devenir égales pendant un temps fini, et qui avant la fin de ce temps approchent tellement de l’égalité, que leur différence est plus petite qu’aucune différence donnée, deviennent à la fin égales. »