Infiniments petits et infiniment grands, continuité et infini

JPCC
Modifié (December 2021) dans Histoire des Mathématiques

L’énigme de la continuité a été résolue dans le contexte des recherches sur le mouvement, par l’élaboration progressive des concepts de vitesse, puis de vitesse instantanée. C’est l’élaboration de la notion de vitesse instantanée (Galilée) qui a conduit au calcul différentiel (Newton et Leibniz) et à la notion de dérivée (Varignon), c’est-à-dire de limite (même si la théorie mathématique des limites et de la continuité n’aboutira qu’au XIXe siècle avec Cauchy et Weierstrass), avec la définition d’une suite qui tend vers 0, qui permettra de clarifier la question des infiniment petits.

Cette histoire m’apparaît sans relation directe avec celle des spéculations sur l’infiniment grand (toute-puissance divine, immensité de l’univers et enfin infinitisation de l’univers[1]) qui ont finalement eu leur dénouement avec la théorie des infinis de Cantor. Si 0 apparaît comme le symétrique de ¥ pour la multiplication, il n’en va pas de même pour l’addition, et la notion de limite a me semble-t-il plus à voir avec l’addition qu’avec la multiplication (la définition classique d’une limite l repose sur la différence x-l). Peut-être cela n’a-t-il rien à voir avec la question, mais 0 est un nombre, il est l’élément neutre de l’addition, alors qu’on peut difficilement trouver des propriétés similaires pour ¥. Autrement dit, il n’y aurait pas de symétrie (ou du moins seulement partielle) entre 0 et ¥, entre les infiniment petits et les infiniment grands. Et ce sont les recherches sur la vitesse instantanée et non pas sur les dimensions de l’univers  qui ont conduit à la résolution de l’énigme de la continuité, une question topologique, alors que la question des infiniment grands serait plutôt ensembliste ?

Christian Godin, dans son texte sur l’infini, dit que Cantor aurait écrit sur cette dissymétrie entre infiniment petits et infiniment grands, mais je n’ai pas trouvé la référence. J’ai lu tout dernièrement que cette question a fait l’objet d’une bataille entre Cantor et les développeurs de l’analyse non standard, mais je ne connais rien à cette théorie.

En résumé, est-il légitime de parler d’une dissymétrie entre infiniment petits et infiniment grands (quitte à préciser le champ considéré, R, etc.) ? Une dissymétrie entre infiniment petits et infiniment grands a-t-elle un sens d’un point de vue topologique ? Y a-t-il de la bibliographie sur ces questions ?

 Merci d’avance.


[1] Encore que cette expression, popularisée par Koyré, ne semble pas clairement définie, notamment par rapport à la question : infini en acte ou en puissance ? Mais c’est une autre question que celle de cette discussion.

Réponses

  • Seirios
    Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Pour parler mathématiquement des infiniment petit et grand, encore faut-il préciser le point de vue adopté. Un concept qui vient du sens commun pourra être traduit de différentes manières en mathématiques. Une possibilité pour formaliser ta question est de se placer dans le corps des hyperréels, où il y a des nombres infiniment petits et des nombres infiniment grands. Comme c'est un corps, tout infiniment petit (strictement positif) peut être inversé, ce qui va te donner un infiniment grand ; réciproquement, l'inverse d'un infiniment grand te donnera un infiniment petit. Donc, de ce point de vue, il n'y a aucune dissymétrie.
  • GaBuZoMeu
    Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Un sacré mélange entre la compactification de la droite réelle par l'ajout d'un ou deux points à l'infini et l'infini au sens de la théorie des ensembles.
    "bataille entre Cantor et les développeurs de l’analyse non standard" ???? Il ne me semble pas que l'analyse non standard ait été développée à la fin du 19e siècle :D 
  • JPCC
    Modifié (December 2021)
    @ Seiros : Merci de me faire découvrir les hyperréels. Je crois comprendre qu'il s'agit d'une construction de l'analyse non standard ? 
    GaBuZoMeu.
    - "mélange entre la compactification de la droite réelle par l'ajout d'un ou deux points à l'infini et l'infini au sens de la théorie des ensembles". Oui, vous avez raison. Le pont entre les deux est-il impossible ? 
    - Question subsidiaire : comment se situait Cantor par rapport à la topologie ? A-t-il contribué à sa naissance ? Qu'aurait-il dit de la question précédente ?
    - ""bataille entre Cantor et les développeurs de l’analyse non standard" : du moins avec ses précurseurs, cf. https://www.researchgate.net/publication/282284361_Georg_Cantor_et_la_Decouverte_des_Infinis_Georg_Cantor_and_the_discovery_of_the_infinites.
    Ce texte parle bien de symétrie ("Quelle méthode mathématique pourra redonner la symétrie dans l’infini ? La possibilité de nombres infiniment petits actuels ne pourra être rigoureusement déterminée que par un mathématicien que même Gödel admirait : Abraham Robinson"), et du refus de Cantor d'admettre les infiniment petits, en raison de l'axiome d'Archimède, qu'il prétend démontrer. Mais ce texte, très synthétique, me laisse sur ma faim.
    - en résumé, ce que je comprends : 1) Cantor a bien défini des infiniment grands 2) pour définir les infiniment petits, il a fallu développer une nouvelle axiomatique, celle de l'analyse non standard (comme il a fallu développer de nouvelles axiomatiques (Riemann, ...) pour arriver à faire se couper des parallèles). 3) dans l'axiomatique standard, il y a donc bien une dissymétrie, liée à l'axiome d'Archimède ? Peut-on développer ? 
  • JPCC
    Modifié (December 2021)
    À la réflexion, non, cette dissymétrie, si dissymétrie il y a, ne peut pas être liée à l'axiome d'Archimède, qui dit simplement que quelque soit x réel, il existe n et m entiers tel que n>x et 1/m<x, qui est donc symétrique. Ne tient-elle pas tout simplement au fait que R+ est fermé en 0, et ouvert en l'infini ?
  • JPCC
    Modifié (December 2021)
    A propos de l'axiome d'Archimède, ni 0 l'infini ne le vérifient : il semble y avoir à nouveau symétrie.
    R+ est fermé en 0, et ouvert en l'infini, mais le compactifié d'Alexandrov de R+ est fermé aussi en l'infini. On objectera que  que 0 est un nombre, mais pas l'infini : mais n'est-ce pas purement conventionnel, historique ? Certes l'infini-l'infini, l'infini/l'infini, l'infini/0 ne sont pas définis, mais 0/0 et 0/l'infini non plus. Finalement, la seule dissymétrie entre 0 et l'infini n'est-elle pas que 0-0 est défini, alors que l'infini-l'infini ne l'est pas ?
  • Et d'ailleurs, le fait que l'infini-l'infini n'est pas défini rejoint la définition ensembliste de l'infini, un ensemble qui contient un sous-ensemble de même cardinal que lui. Autrement dit, dire que zéro est un nombre mais que l'infini n'en est pas un revient à dire que zéro est fini?
  • gerard0
    Modifié (December 2021)
    JPCC :
    " comment se situait Cantor par rapport à la topologie ?" nulle part ! La topologie se développe à partir du début du vingtième siècle. Attention à ne pas réinterpréter l'histoire avec les catégories de pensée actuelles. même si on reprend en topologie des idées préexistantes (comment faire autrement ?)
    " "bataille entre Cantor et les développeurs de l’analyse non standard" : du moins avec ses précurseurs," Même remarque. D'autant que Robinson s'appuie sur les outils nouveaux de la logique, outils qui auraient surpris aussi bien Cantor que ses contradicteurs.
    "1) Cantor a bien défini des infiniment grands " Non ! Non et non ! Les notions d'infiniment petit et infiniment grand relèvent de l'analyse, pas du dénombrement, qui a donné les cardinaux. Tu mélanges deux notions mathématiques d'infini qui, bien que dites avec le même mot ("infini") n'ont rien à voir : On a $\lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$ mais pas de cardinal d'ensemble dans cette limite.
    La suite montre que tu as une vision bizarre des maths, comme ton "arriver à faire se couper des parallèles" (*).
    Cordialement.
    (*) elles se coupent déjà au XV-ième siècle sur les tableaux des peintres italiens.
  • JPCC
    Modifié (December 2021)
    Cantor et la topologie : "Dans sa construction, on doit à Cantor les notions d'intervalles ouverts ]a,b[ et fermés [a,b] pour parler de voisinages d'un point, ainsi que du concept implicite de point d'accumulation. Sa démarche s'apparente alors à la construction d'une topologie de la droite." (http://serge.mehl.free.fr/chrono/Cantor.html) : vrai ou faux? Cantor a-t-il contribué à la naissance de la topologie ?
    "arriver à faire se couper des parallèles" : raccourci pour dire : comprendre la nature axiomatique de l'affirmation selon laquelle des parallèles ne se coupent pas. Merci de votre indulgence.
  • gerard0
    Modifié (December 2021)
    Mais ces notions d'intervalle ouvert et fermé ne sont de nature topologique que parce qu'on les a généralisées en topologie. À ce moment-là, Euclide est un précurseur de la topologie (voir son étude des irrationnels). Beaucoup de notions de la topologie étaient connues bien avant qu'on les rassemble en une discipline cohérente. Et tous les mathématiciens jusqu'à la fin du dix-neuvième siècle ont "contribué à la naissance de la topologie".
    On ne peut pas être pris au sérieux avec des approximations historiques de ce genre ...
    Cordialement.
  • Je ne faisais que citer une phrase de S Mehl  et poser des questions, sérieuses j'espère même si je n'ai plus que des souvenirs lointains de mes études mathématiques. D'où mes questions
  • PS: Euclide ne parlait pas de fermés ni d'ouverts, je suppose...
  • gerard0
    Modifié (December 2021)
    Je n'ai pas dit qu'il en parlait.
    Et Serge Mehl fait de la vulgarisation, nécessairement très approximative. Ne pas le prendre comme référence historique.
    Je n'ai pas trop compris où vont tes questions, fais-tu de l'histoire des sciences ? Essaies-tu de comprendre les maths ? Ou veux-tu faire de la vulgarisation (auquel cas, il faut le dire) ?
    Cordialement.
  • JPCC
    Modifié (December 2021)
    De l'histoire des sciences, et plus particulièrement la révolution scientifique du XVII. J'ai l'impression que Koyré a (presque) tout faux quand il donne le premier rôle à "l'infinitisation de l''univers". De quel infini parle-t-il d'ailleurs ? C'est beaucoup plus l'infiniment grand que l'infiniment petit, et c'est me semble-t-il l'infini en acte beaucoup plus que l'infini potentiel. Or la question  de l'infinité de l'univers est une question plus philosophique que scientifique, alors que la découverte du calcul infinitésimal, liée à la problématique de l'infiniment petit, a eu un rôle crucial dans la révolution scientifique. Ce sont les réflexions, en particulier de Galilée, sur la vitesse instantanée qui ont préparé le terrain pour la découverte du calcul infinitésimal par Newton (je connais moins le rôle de Leibniz) . La notion essentielle, qui a permis de résoudre le vieux problème de la continuité, c'est la notion de limite, et non pas l'infiniment grand. La résolution mathématique rigoureuse de la continuité attendra le XIX siècle, mais le point de départ nouveau (par rapport à la science hellénistique en particulier) a été la notion de vitesse instantanée, concomitamment avec la prise en compte du temps comme variable première du mouvement. Autre citation que je viens de découvrir  et qui va dans ce sens : "La méthode utilisée au XIXe siècle pour rendre rigoureux le calcul infinitésimal est un renoncement à l’infini actuel, auquel on substitue un infini potentiel, celui de quantités qui s’approchent de plus en plus de leur limite" (Jean-Paul Delahaye, « L’infini est-il paradoxal en mathématiques ? », Pour la science, n°278, décembre 2000, p. 34).

    D'où mes questions sur l' "asymétrie" entre infiniment grand et infiniment petit.
    Je ne sais pas non plus dater la naissance de la topologie (on peut dater celle du calcul infinitésimal à Newton et Leibniz, même si les recherches remontent au moins à Archimède : y a-t-il eu une étape fondatrice comparable pour la topologie ?)
    Quel rapport peut-on établir entre la découverte des infinis de Cantor et la topologie ? Entre les infinis de Cantor et l'infini du compactifié d'Alexandrov ? Le développement de la topologie a finalement  permis de définir l'infiniment grand de la même façon que l'infiniment petit, mais ceci est la rencontre finale de deux chemins qui ont été  historiquement distincts.
    Et quelle est la raison de fond pour laquelle Cantor s'est opposé aux infiniment petits (voire a parlé(?) d'une dissymétrie entre infiniment petits et infiniment grands) ? La réponse m'apparaît finalement être tout simplement : parce que les infiniment petits restent dans le domaine du fini. Vous me direz sans doute que j'enfonce une porte ouverte, mais peut-être ne l'est-elle pas pour tout le monde ?
    Merci en tout cas de vos remarques roboratives !

    [1] Jean-Paul Delahaye, « L’infini est-il paradoxal en mathématiques ? », Pour la science, n°278, décembre 2000, p. 34.

  • gerard0
    Modifié (December 2021)
    Koyré développe un point de vue sur l'histoire des sciences qui date pas mal, mais qui fut novateur à son époque (qui était un peu la mienne !). Sur la base de sa réflexion, d'autres idées ont été développées. Et comme toujours dans l'histoire des idées, il n'y a pas qu'une seule voie au changement.
    Par contre, je suis très surpris du rôle que tu attribues à la notion de limite, qui n'apparaît en maths que vers la fin du dix-huitième siècle. Même si c'est l'outil moderne pour définir la dérivation, elle n'apparaît pas dans les travaux de Cavalieri (les indivisibles), ni ceux de Leibnitz et Newton (les infiniment petits). Newton est d'ailleurs tellement peu sûr de la méthode qu'il ne l'emploie pas du tout dans ses Principia, et fait critiquer Leibnitz sur ce terrain (si les infiniment petits ne sont pas nuls, on ne peut pas les remplacer par 0). Ce sont ses épigones, qui développeront les infiniment petits en raison de leur efficacité. Bien sûr, à l'époque on parle de "quantités évanouissantes", mais ce n'est pas la notion moderne de limite, même pas celle de la fin du dix-huitième.
    À cette époque, s'il y a des infiniment petits, il n'y a pas d'infiniment grand, même si la réflexion sur la finitude de l'univers est en route (Giordano Bruno, Fontenelle, ...). Le paradoxe d'Olbers est déjà évoqué au seizième (T. Digges) et début dix-septième (Kepler).
    Quant à la raison de s'opposer aux infiniment petits au dix-neuvième siècle, c'est essentiellement qu'ils ne sont pas utiles (on sait s'en passer) et qu'ils sont d'un usage contradictoire (dx n'est pas nul, mais on remplace x+dx par x, donc dx est nul). Ce qui n'interdit pas l'usage rationnel de la notation différentielle dx. D'autre part, les infiniment grands (inverses d'infiniment petits) n'ont rien à voir avec les cardinaux - C'est d'ailleurs très clair aujourd'hui. C'est un chemin très différent qui amènera Robinson à définir l'analyse non standard et ses "infiniment petits" : x+dx est un nombre non standard, qui n'est pas égal au nombre standard x.
    Enfin attention à cette notion mathématique d'infini ; elle fait vite raconter n'importe quoi. Et est délicate : par exemple $\mathbb R$ est non dénombrable, son infini de cardinal est strictement supérieur à celui de l'ensemble des entiers, mais il existe des modèles dénombrables de $\mathbb R$. Sans une forte formation à la logique, il est difficile de bien comprendre ça !
    Un conseil. Vois les indivisibles de Cavalieri et les infiniment petits de Leibnitz.
    Cordialement.
  • Je crois que Wikipédia est correct quand il dit :
    "Le domaine mathématique de l'analyse numérique connut dans la seconde moitié du xviie siècle une avancée prodigieuse grâce aux travaux de Newton et de Leibniz en matière de calcul différentiel et intégral, traitant notamment de la notion d'infiniment petit et de son rapport avec les sommes dites intégrales.
    C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié du xviie siècle, a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe – lui-même les appelait « touchantes ». Le marquis de l'Hospital contribue à diffuser le calcul différentiel de Leibniz à la fin du xviie siècle grâce à son livre sur l'analyse des infiniment petits.
    John Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales qui portent son nom), contribue également à l'essor de l'analyse différentielle.
    Néanmoins cette théorie tout juste éclose n'est pas encore, à l'époque, pourvue de toute la rigueur mathématique qu'elle aurait exigée, et notamment la notion d'infiniment petit introduite par Newton, qui tient plus de l'intuitif, et qui pourrait engendrer des erreurs dès lors que l'on ne s'entend pas bien sur ce qui est ou non négligeable. C'est au xviiie siècle que d'Alembert introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement – sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose un problème : {\displaystyle \mathbb {R} }mathbb R n'est pas encore construit formellement (voir Construction des nombres réels). C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du xixe siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé."

    Dans le lemme 1 des Principia, p. 37, Newton avait déjà donné une définition assez moderne de la notion de limite, au formalisme près : « Les quantités et les raisons des quantités qui tendent continuellement à devenir égales pendant un temps fini, et qui avant la fin de ce temps approchent tellement de l’égalité, que leur différence est plus petite qu’aucune différence donnée, deviennent à la fin égales. » 

    Le rôle de Galilée a été, en amont, de prendre t comme variable pour la loi de la chute des corps et de dégager la notion de vitesse instantanée.  Maurice Clavelin  : "les spéculations infinitésimales de Galilée marquent une étape importante dans la mathématisation du continu, et expriment un tournant décisif dans ce grand mouvement de pensée qui, de Pythagore à Cantor, se confond en partie avec l'histoire de la science elle-même" (« Le problème du continu et les paradoxes de l'infini chez Galilée », Thalès, vol. 10, 1959, p. 26)

    Quant à  l'infiniment grand cosmologique réel, il est affirmé par Newton (après l'avoir été par Giordano Bruno). D'après Koyré : "Rappelons, à cette occasion, que la théorie de l'infini actuel est liée, à juste titre, au nom de George Cantor, mais que, bien avant Cantor, elle servait déjà de fondement à la pensée philosophique et mathématique. Sans parler, pour l'instant, de Bernard Bolzano le précurseur génial de Cantor qui, incompris à son époque, fut aussi oublié par la postérité et ne fut redécouvert que de nos jours, nous pensons surtout au grand fondateur de la philosophie et de la science modernes, à René Descartes. Supérieur à Cantor par la puissance et la profondeur de ses vues il a su établir non seulement la légitimité essentielle de l'infini actuel, et montrer l'impossibilité de le remplacer par la notion d'indéfini, mais, en plus, il en a fait le fondement et le principe de la théorie du fini. » 'Etudes d'histoire de la pensée philosophique, Et je rappelle le titre du best seller de Koyré, Du monde clos à l'univers infini. Koyré a été critiqué pour avoir minimisé les expériences de Galilée, mais pas pour son ode à l'infinitisation de l'univers, une expression récurrente dans son oeuvre. 

    Vous dites "Les infiniment grands n'ont rien à voir avec les cardinaux". Touts les biographies de Cantor me semblent pourtant affirmer l'inverse, par exemple, outre la citation ci-dessus de Koyré : "Georg Cantor (1845-1918) de l'Université de Halle, en Allemagne, la provoquait [la crise] en introduisant un infini actuel dans sa théorie des ensembles et son arithmétique transfinie. Ce faisant, il rompait sciemment avec une tradition millénaire qui refusait, en mathématique, l'infini actuel, n'y admettant que l'infini potentiel." (Blanchet, L.-É. (1977). L’infini chez Cantor. Laval théologique et philosophique, 33(1), 23–31. https://doi.org/10.7202/705591ar, p. 25)  

    Je sais bien que l'interprétation des dx a donné du fil à retordre. Mais ma question était : pourquoi Cantor a-t-il théorisé les infiniment grands et refusé de théoriser les infiniments petits? Y a-t-il une difficulté spécifique aux infiniments petits qui n'a pas son symétrique dans les infiniment grands, et si oui pourquoi, quelle est la raison profonde qui est à la source de cette différence?

  • Cantor a théorisé les cardinaux/ordinaux (en gros, ça mesure si un ensemble est plus ou moins gros). L'infiniment petit n'a rien à voir avec ces problématiques de comparaisons des ensembles entre eux.
  • Ma question est bien : pourquoi Cantor a-t-il refusé cette symétrie? Cette symétrie est si j'ai bien compris reconnue en analyse non standard. Cantor avait-il raison de la refuser, doit-elle être refusée en analyse standard, pour quelle raison de fond?
  • Dreamer
    Modifié (December 2021)
    Bonsoir.
    Juste une remarque par rapport à la référence au texte de Christian Godin sur l'infini et ce qu'il fait dire à Cantor sur la dissymétrie entre infiniment grand et infiniment petit.
    Le texte est rempli de citations dont les sources ne sont pas forcément toutes bien renseignées.  En l'occurrence la réflexion initiale dont question est attribuée à Pascal, avec juste une note en bas de page (la n°67, pour ceux qui veulent consulter) qui mentionne que Cantor appuie cela, je trouve que c'est un peu léger.
    Du reste, plusieurs citations in-texto font bien mention des nombres transfinis, avec les explications qui montrent que Christian Godin a compris que les réflexions de Cantor sont à un autre niveau que la recherche de dissymétrie entre infiniment petit et infiniment grand.
    Je n'irais pas plus loin dans la recherche sur cette question.
    À bientôt. 

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  • Je pense que tout le monde accepte la symétrie $x\mapsto \frac{1}{x}$ qui envoie $0^+$ sur $+\infty$. Pour le reste, désolé mais je ne comprends pas bien tes longs messages.
  • gerard0
    Modifié (December 2021)
    JPCC :
    "Mais ma question était : pourquoi Cantor a-t-il théorisé les infiniment grands"
    Je t'ai déjà dit que tu te trompes !! Cantor n'a pas parlé d'infiniment grands. Il ne sert à rien de copier des passages de Wikipédia si tu ne lis pas ce qu'on te répond, si tu ne te renseignes pas sérieusement sur ce qu'est la théorie des cardinaux et des ordinaux et que tu continues à confondre deux notions différentes.
    Et pour comprendre ce que raconte Christian Godin, demande à Christian Godin. S'il a dit ça sans aucune référence, c'est très sujet à caution. On attribue pas mal de choses apocryphes à Cantor, Einstein ou Gödel, entre autres.
  • Je ne suis apparemment pas le seul à me tromper, c'est tout ce que je voulais montrer. C'est peut-être un peu plus compliqué ...
    Et tout le monde, C. Godin en particulier, ne répond pas aussi diligemment que vous
  • Bonjour.
    Pour l'avoir péniblement vécu, quelqu'un qui va jusqu'à publier un livre de philosophie est tellement convaincu par son exposé qu'il ne peut pas remettre en question ne fut-ce qu'une virgule mal placée, alors une référence non sourcée...
    À bientôt.

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