Produits infinis de rationnels

i.zitoussi
Modifié (December 2021) dans Shtam
Soit $(p_i)_{i\geq 1}$ la suite des nombres premiers ordonnés par ordre croissant ($p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, etc).
Se peut-il qu'il existe une suite d'entiers relatifs $(v_i)_{i\geq 1}$ tels que la suite des produits partiels $\prod_{i=1}^N p_i^{v_i}$ converge vers un irrationnel ?
Si oui, combien en existe-t-il pour ce même irrationnel? (Je pense que ça revient à déterminer toutes les suites $(u_i)_{i\geq 1}$ telles que $\prod_{i=1}^N p_i^{u_i}$ converge vers $1$).

NB: J'ai hésité pour cette question entre Analyse, Arithmétique, Shtam, et S'abstenir. Je ne sais pas dans quelle mesure c'est intéressant ou évident.
Je me dis que la réponse est soit "évidemment non", dans ce cas toutes mes excuses, et sinon c'est probablement très difficile.
Cette question ressemble un peu à celle-ci sur Math.StackExchange, Can the product of infinitely many elements from $\mathbb{Q}$ be irrational ?. La différence est qu'ici la $p$-valuation du produit partiel de rationnels $q_1q_2\dots q_n$ est stationnaire à partir d'un certain rang, pour tout $p$.
Après je bloque.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Modifié (December 2021)
    Édit : Zut !!! J’ai travaillé avec une série et non une suite de produits 🤬

    —début du délire—
    Heuristiquement. 
    La série des $p_i^{-1}$ diverge vers l’infini (avec son terme général qui temps vers $0$). 
    Soit $x$ un réel strictement positif. 
    On doit bien pouvoir construire un algorithme qui fabrique une suite de ces puissances de fin que la série tende vers $x$. 
    On prend d’abord des puissances « énormes » pour que les premiers termes soient très petits, puis pour un rang assez grand on prend la puissance $-1$, puis on prend les prochains termes avec $-1$ sauf si ça dépasse $x$ (c’est toujours possible puisque la suite des sommes partielles de la série est croissante non majorée), puis on continue à prendre des puissances grandes (enfin, en valeur absolue…) pour insérer des termes petits jusqu’à ce que l’on puisse de nouveau utiliser les puissances $-1-$. 

    Désolé si ce n’est pas clair… mais dis-le quand même. 
    —fin du délire—

    À la réflexion, on doit bien pouvoir adapter cette algorithme à la suite des produits, non ?

  • lourrran
    Modifié (December 2021)
    Il ne peut pas exister de telle suite.
     
    Entre 2 termes successifs de cette suite, on a un rapport égal à  $P_i^{v_i}$. Ce nombre est soit 'très grand' si $v_i$ est positif, soit, très petit si $v_i$ est négatif, mais il n'est pas proche de 1.
    Il peut être égal à 1 si $v_i$ est nul, mais pour que la suite converge vers un irrationnel, il faut une infinité de termes $v_i$ non nuls.

    Par contre, on peut modifier un peu la question :  $f(n) = \prod_{i=1}^n i^{v_i}$

    On prend donc en compte tous les entiers et pas uniquement les nombres premiers.
    Et on prend la sous-suite définie par $u_i = f(P_i)$

    Par exemple si les $v_i$ valent $1$ pour tous les entiers pairs, et $-1$ pour tous les impairs
    $u_1=2$
    $u_2=2/3$
    $u_3=8/15$
    $u_4=48/105$
    $u_5=3840/10395$

    Et là, on doit pouvoir trouver des solutions pour converger vers le nombre irrationnel de son choix.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • lourrran !.... J'ai bien fait de mettre ça directement dans Shtam. Je crois que j'ai confondu "s'approcher de $x$ autant de fois qu'on veut et aussi près qu'on veut" et "converger vers $x$".
    Après je bloque.
  • Si un produit infini converge (vers autre chose que $0$) son terme général tend vers $1$. Quand elle existe, la limite de tes produits ne peut donc être que $0$ (exemple : $v_i = -i!$), $1$ (exemple : $v_i=0$) ou $+\infty$ (exemple : $v_i=1$).
  • Oui Poirot. Je me suis déjà rétracté dans mon post précédent, suite à la lecture des 3 premières lignes de celui de lourrran.
    Tout cela ne serait pas arrivé si le forum avait une section "S'abstenir", ou un bouton "Réfléchir".
    Après je bloque.
  • Médiat_Suprème
    Modifié (December 2021)
    Bonjour,
    Voir par exemple les développements des réels en produits de Cantor, en produits alternés de Cantor, ou en produits négatifs de Cantor
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
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