Groupe diédral

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Bonjour, je révise mon cours sur les isométries que je reprends depuis le début.

Soit $P_n\subset \mathbb R^2$ un n-gone régulier centré en l'origine. On cherche à déterminer $D_{2n}:=\text{ Sym }(P_n)=\{f\in \text{ Isom }\mathbb R^2\mid f(P_n)=P_n\}$.

Notons $r$ la rotation d'angle $\frac{2\pi}{n}$ dans le sens trigonométrique et $s$ la réflexion par la droite passant par un sommet et l'origine.

On note que $D_{2n}\supset e,r,r^2,\dots,r^{n-1}$ et aussi que $D_{2n}\supset s,rs,r^2s,\dots,r^{n-1}s$ tout en notant que $rs,r^2s,\dots,r^{n-1}s$ sont des réflexions car elles renversent l'orientation et ont l'origine comme point fixe. Si donc on suppose que $|D_{2n}|=2n$ alors on a que $D_{2n}=\{e,r,\dots,r^{n-1},s,rs,\dots,r^{n-1}s\}$.

Ensuite mon cours dit qu'on peut montrer que $srs=r^{-1}$ et que ceci et le fait que $r^n=e,s^2=e$ permet d'établir la loi de composition. Mais je ne comprends pas ce qui est sous-entendu par cette loi de composition... Merci pour votre aide.

GaBuZoMeu

Bonjour

Tout élément du groupe de présentation $\langle r,s\mid r^n, s^2, (rs)^2\rangle$ peut s'écrire sous la forme $r^ks^\epsilon$ avec $0\leq k<n$ et $\epsilon\in \{0,1\}$, et les relations disent comment multiplier deux tels éléments (quand on fait passer de droite à gauche de $s$, chaque $r$ se transforme en $r^{-1}$).

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Bonjour, désolé pour la réponse tardive... Merci pour la réponse, juste un détail, on a que $(rs)^2=e$ car $rs$ est une symétrie c'est bien ça?

GaBuZoMeu

$(rs)^2=e$, c'est la même chose que $srs=r^{-1}$.

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Oui mais pour montrer que $srs=r^{-1}$ il suffit de dire que $rs$ est une isométrie c'est ça?

Math Coss

Une isométrie indirecte du plan, et donc une involution.

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Pardon je voulais dire symétrie

Math Coss

Oui, et ça se justifie immédiatement parce que c'est une isométrie indirecte (parce que $1\times (-1)=-1$).