Un ensemble semi-algébrique

john_john
Modifié (December 2021) dans Algèbre
On donne un entier $n\geqslant2$ et deux entiers $p$ et $q$ compris au sens large entre $1$ et $n-1$ ; dans une matrice orthogonale $M=(m_{i,\,j})\in{\rm O}_n(\R)$, on ne conserve que la matrice extraite $(m_{i,\,j})$, où $i\leqslant p$ et $j\leqslant q$. Caractériser par un nombre fini d'égalités et d'inégalités l'ensemble des matrices de format $(p,\,q)$ ainsi obtenues.
Gabuzomeu et dSP qui, ayant lu cela, ont déjà fini de résoudre l'exercice, sont gentiment priés de laisser chercher un peu leurs petits camarades o:) .

Réponses

  • Yannguyen
    Modifié (December 2021)
    Bonjour john_john,
    Entre deux tâches urgentes à faire, je pose cette question qui me semble pertinente :
    Le théorème de complétion d'une famille orthonormale en une base O.N. peut-il servir ?
    :smile:
    Cordialement,
    Yann

  • Yannguyen
    Modifié (December 2021)
    Bonne soirée à tous,
    Yann
  • Bonjour, Yann,
    oui, bien sûr : on peut compléter un bloc $A$ de format $(p,q)$ en une matrice orthogonale $M=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ ssi on peut trouver $C$ de sorte que les colonnes de $M'=\begin{pmatrix}A\\C\end{pmatrix}$ forment une famille orthonormale (le thm de complétion fait alors le reste).

    On peut agir de même avec les lignes d'une éventuelle matrice décrite par des blocs $(A,B)$, mais la CNS obtenue est alors la même (du fait des propriétés analogues des matrices $^t\!AA$ et $A\,^t\!A$.
  • Je suis heureux que le fil commence à s'animer...
  • Georges Abitbol
    Modifié (December 2021)
    Hum, je trouve l’exercice très intéressant. Je vais y réfléchir ! En ce moment, je m’intéresse aux matrices aléatoires et le problème de comprendre la loi de petites sous-matrices de grosses matrices orthogonales ou unitaires a l’air aussi difficile que passionnant.
  • Pour prolonger la remarque que j'ai faite à Yann, je signale que la condition sur $A$ et $C$ équivaut à $^tAA+^tCC={\rm Id}_q$. Cela entraîne que ${\rm Id}_q-\,^t\!AA$ est (symétrique) positive, mais cela peut ne pas suffire car le format de la matrice $C$ impose d'autres conditions. Je n'en dis pas plus...

    Ah si : je suis en train de me demander quelle est l'image de ${\rm O}_n(\R)$ par l'application qui à une matrice associe le vecteur diagonal $(m_{1,\,1},\,m_{2,\,2},\,\cdots,\,m_{n,\,n})$ ; je m'en sors pour l'instant lorsque $n=2$ ou $n=3$ mais le cas général est plus épineux. À suivre, donc (mais toute remarque sera la bienvenue).

    Pour le reste, j'encourage Georges à se pencher sur l'exo (car il le vaut bien ??)
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