Valeurs propres d'une matrice

AlphaNico
Modifié (December 2021) dans Algèbre
Bonsoir à tous
Je vous livre un sujet qui a été posé en 2017 à l'oral de Centrale : on s'intéressait à la matrice $A$ dont le terme général est $a_{ij}=\mathrm{max}(i,j)$.
La matrice $A$ est symétrique réelle, donc, diagonalisable, mais l'énoncé demandait de démontrer que tous les sous-espaces propres étaient de dimension 1. Avec Python, cela se vérifie facilement pour les petites valeurs de $n$, mais comment le démontrer dans le cas général ?
Merci pour votre aide,
$\alpha$-Nico.

Réponses

  • LOU16
    Modifié (December 2021)
    Bonjour
    Cela peut se justifier en disant que pour tout réel $x$ , le rang de $B(x) :=A-x \mathrm I_n$ est supérieur ou égal à $n-1$, ce qui se voit facilement en faisant subir à $B(x)$ les opérations: $\forall k \in [\![2;n]\!], \quad L_k \leftarrow L_k-L_1\qquad (L_i: i\text{-ème ligne de }B(x)).$
    Cela entraîne que $ \forall \lambda \in \mathrm {Sp} (A), \quad \dim \ker (A-\lambda \mathrm I_n) =1.$
  • gebrane
    Modifié (December 2021)
    Merci @LOU16 pour cette belle idée. Moi je voulais traiter la question en démontrant que les valeurs propres sont distinctes.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Merci Lou16 ! L'idée est très simple, mais je n'y avais pas pensé...
    D'où l'intérêt de ce beau forum de maths !
    $\alpha$-Nico
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