Minoration du module des racines d'un polynôme

MrJ
MrJ
Modifié (December 2021) dans Algèbre
Bonsoir
Si $\displaystyle{P=\sum_{k=0}^n a_k X^k}$ est un polynôme complexe de degré $n>0$, alors il est classique que toute racine $z\in\mathbb{C}$ de ce polynôme vérifie
$$|z| \leq \dfrac{|a_n| +\max\big(|a_0|,\ldots,|a_{n-1}|\big)}{|a_n|}.$$
En passant par le polynôme réciproque de $P$, j'en déduis également que
$$|z| \geq \dfrac{|a_0|}{|a_0| +\max\big(|a_1|,\ldots,|a_{n}|\big)}.$$
J'ai un doute sur cette seconde minoration, car bien que je ne trouve pas d'erreur dans mon raisonnement, je ne la vois pas apparaitre sous cette forme dans les quelques documents que j'ai trouvé sur internet (alors que la première est identique).
Je me demande donc si je n'aurais pas fait une grossière erreur quelque part...

Réponses

  • Sauf erreur : si $P(X) = X^2-\varepsilon$ alors on a $\dfrac{|a_0|}{|a_0| +\max\big(|a_1|,\ldots,|a_{n}|\big)} = \dfrac{\varepsilon}{1+\varepsilon} \sim \varepsilon$ mais les racines du polynôme sont $\pm \sqrt \varepsilon$, la minoration ne peut donc pas être vraie.

  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2021)
    Merci pour ta réponse.
    Par contre, je crois  que ton contre-exemple ne fonctionne pas, car $\sqrt{\varepsilon}\geq \varepsilon$ au voisinage de $0^+$.
  • Renart
    Modifié (December 2021)
    Évidemment si je lis la minoration dans le mauvais sens ça ne va pas marcher !
    Désolé pour la réponse à côté de la plaque du coup ¯\_(ツ)_/¯
  • MrJ
    MrJ
    Modifié (December 2021)
    J’ai continué à fouiller sur internet et il semblerait finalement qu’il n’y ait pas de problème….
    Le document qui m’a fait douter s’est sûrement embrouillé avec la gestion du terme dominant.
    Désolé pour le bruit.  :|
  • JLapin
    Modifié (December 2021)
    MrJ a dit :
    J'ai un doute sur cette seconde minoration, car bien que je ne trouve pas d'erreur dans mon raisonnement, je ne la vois pas apparaitre sous cette forme dans les quelques documents que j'ai trouvé sur internet (alors que la première est identique).
    Sur le wiki anglais, il est mentionné ce principe d'utilisation du polynôme réciproque et aussi que les minorations ne seront pas mentionnées par la suite.
  • On déduit immédiatement de cette observation que les racines de $(X-1)^n$ se situent toutes dans l'anneau $1/M\leq \vert z\vert \leq M$ où $M=1+\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$. Je conjecture que cet encadrement est optimal.
    Après je bloque.
  • @JLapin : Merci pour ce lien! Cette page est bien plus claire que ce j’avais trouvé sur internet en français.
  • noix de totos
    Modifié (December 2021)
    Il y a quantité de résultats dans la littérature concernant les localisations de racines de polynômes.

    Le plus connu est sans doute le théorème d'Eneström-Kakeya (Fin du 19ème siècle, si ma mémoire est bonne) : si un polynôme $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k \in \mathbb{R}[X]$ vérifie $a_n \geqslant a_{n-1} \geqslant \dotsb \geqslant a_0 > 0$, alors toutes les racines de $P$ sont dans le disque fermé $|z| \leqslant 1$.

    Sous les mêmes hypothèses (sauf l'hypothèse $>0$), Joyal, Labelle & Rahman (1967) ont montré que, dans le théorème précédent, on peut remplacer $1$ par $\frac{a_n-a_0+|a_0|}{|a_n|}$.

    Il y a eu ensuite plusieurs généralisations du théorème d'Eneström-Kakeya aux polynômes complexes. Par exemple, en 2002, Govil & Mc Tune ont montré : si un polynôme $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k \in \mathbb{C}[X]$ vérifie $a_n \neq 0$, $\alpha_k := \textrm{Re} (a_k)$, $\beta_k := \textrm{Im}(a_k)$, tels que $\alpha_n \geqslant \alpha_{n-1} \geqslant \dotsb \geqslant \alpha_0$, alors toutes les racines de $P$ sont dans le disque fermé $|z| \leqslant \frac{\alpha_n-\alpha_0+|\alpha_0|}{|\alpha_n|} + \frac{2}{|\alpha_n|} \sum_{k=1}^n \left| \beta_k \right|$.

    Enfin, un autre exemple pour la route : si un polynôme $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k \in \mathbb{R}[X]$ vérifie $a_k > 0$, $k = 0, \dotsc,n$, alors ses racines sont contenues dans la couronne
    $$\min_{0 \leqslant k < n} \left( \frac{a_k}{a_{k+1}} \right) \leqslant [z| \leqslant \max_{0 \leqslant k < n} \left( \frac{a_k}{a_{k+1}} \right).$$
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