Limite faible

Riemann_lapins_cretins

Bonsoir
J'ai un doute sur les limites faibles (ici dans les espaces réflexifs), n'ayant pas de livre d'analyse fonctionnelle à portée de main et ayant un problème pour ouvrir les pdf sur Google, qui sont la forme de toutes les pages de résultats de recherches sur les sujets de maths, ou presque toutes, je vous demande ici.

J'ai plus précisément une compacité à montrer, et pour ça, je dois étudier une suite d'éléments de l'espace des fonctions de carré intégrable d'un segment de R à valeurs dans un convexe C.
Ma suite est bornée et par réflexivité de L^2 elle admet une sous-suite convergeant faiblement dans L^2.

Mais je veux que la limite trouvée soit à valeurs dans C. Y a-t-il une propriété de la limite faible pour m'assurer que c'est le cas ?
J'ai de vagues souvenirs de résultats concernant la localisation de la limite faible dans l'enveloppe convexe mais c'est vague.
Bref, merci pour toute aide !

Calli

Bonjour,
Si $C$ est un fermé convexe de $\Bbb R^d$, alors $\mathfrak{C} := L^2([a,b],\Bbb R^d)\cap C^{[a,b]}$ est un ensemble convexe, fermé dans $L^2([a,b],\Bbb R^d)$ pour la topologie forte. Donc tout point de $L^2\setminus \mathfrak{C}$ est séparé de $\mathfrak{C}$ par une forme linéaire (théorème de Hahn-Banach géométrique). Donc $\mathfrak C$ est fermé pour la topologie faible.
En revanche, si $C$ n'est pas fermé, $\mathfrak C$ n'est pas fermé pour la topologie faible.

Riemann_lapins_cretins

En fait C est compact, donc tout va bien. Merci pour la réponse !