noyau sans facteur carré

borde

Un petit exercice de théorie analytique des nombres.

On définit le {\it noyau sans facteur carré} $k(n)$ d'un entier $n \geqslant 1$ par $k(1) = 1$, et, si $n = p_1^{\alpha_1}...p_r^{\alpha_r}$ est un entier $\geqslant 2$, alors $k(n) = p_1...p_r$. Montrer que, pour tout réel $x \geqslant 1$, on a : $$\sum_{n \leqslant x} \frac {1}{n k(n)} < e$$ (ce qui, accessoirement, montre que la série converge).

{\bf Remarques}.

1. Ce n'est pas la meilleure majoration : on peut en effet atteindre $e^{0,78}$.

2. La fonction $n \mapsto k(n)$ est multiplicative.

Bon courage,

Borde.

borde

Peu de succès, cet exo...

On peut utiliser le résultat suivant (classique) : si $f$ est une fonction multiplicative positive, alors : $$\sum_{n \leqslant x} \frac {f(n)}{n} \leqslant \prod_{p \leqslant x} \left ( 1 + \sum_{\alpha = 1}^{\infty} \frac {f(p^{\alpha})}{p^{\alpha}} \right ).$$

{\bf Rques}.


1. $f$ multiplicative signifie bien entendu que $\gcd(m,n) = 1 \Longrightarrow f(mn) = f(m)f(n)$.

2. Comme d'habitude, le produit porte sur les nombres premiers $p \leqslant x$.

Borde.

rémi

Je pense savoir montrer que
<BR><P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><TABLE CLASS="equation*" CELLPADDING="0" WIDTH="100%" ALIGN="CENTER"><TR VALIGN="MIDDLE"><TD NOWRAP ALIGN="CENTER"><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="172" HEIGHT="54" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2005/12/6/73431/cv/img1.png&quot; ALT="$\displaystyle \newline \sum\limits_{n\leqslant x}\frac{1}{nk(n)}\leqslant \prod\limits_{p\leqslant x}\frac{2p-1}{p-1}
\newline$"></SPAN></TD><TD NOWRAP CLASS="eqno" WIDTH="10" ALIGN="RIGHT">   </TD></TR></TABLE></DIV><BR CLEAR="ALL"><P></P>
<BR>grâce à ton indication mais je reste bloqué là. Mes connaissances en théorie analytique des nombres étant assez mince, je loupe peut-être quelque chose de classique ou bien je suis allé un peu vite.<BR>

borde

Ta fraction est fausse, Rémi, sinon ton produit divergerait. La fraction correcte est $$\prod_{p \leqslant x} \frac {p^2 - p +1}{p(p-1)}.$$ Ceci dit, je te remercie d'avoir pris ton temps pour chercher.

Borde.

PS. La suite du calcul ne nécessite plus de connaissances particulières en arithmétique.

rémi

Bon je m'y remets alors.

egoroff

Intervention sans rapport avec l'exercice : il me semble que ce noyau sans facteur carré (terme que je ne connaissais pas et que je trouve bien sympathique) $k(n)$ est le générateur positif du radical de l'idéal de $\Z$ engendré par $n$ : $(k(n))=\sqrt{(n)}$, non ?


Sinon c'est un joli résultat Borde. Je suppose que la morale est qu'il y a "peu" d'entiers ayant "peu" de facteurs premiers distincts.

RAISSOUNI Anass1

donc on peut minorer la fonction de borde par exp(sum(0..infin,1/p(p-1)))
il suffit de montrer que sum(2..infin,1/p(p-1))<1
or sum(2..infini,1/(p-1)^2)<1
or on a sum(2..infini,1/(p-1)^2<(1/2+1/2*3+1/2*3*5+1/2*3*5*7+1/2*3*5*7*11+....)pi^2/6
alors on obtient une majoration de ta fonction mieux que e.

Anass

borde

Pour Egoroff : aucune idée...sorry !

Pour Rainoussi anass : soit $\varphi_2$ la seconde fonction arithmétique de Jordan. Alors on a : $$\sum_{p} \frac {1}{(p-1)^2} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac {\varphi_2(n) - \varphi(n)}{n} \ln \left ( \zeta(n) \right ) \approx 1,3750649947...,$donc cette somme n'est pas $

borde

Pour Egoroff : aucune idée...sorry !

Pour Rainoussi anass : soit $\varphi_2$ la seconde fonction arithmétique de Jordan. Alors on a : $$\sum_{p} \frac {1}{(p-1)^2} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac {\varphi_2(n) - \varphi(n)}{n} \ln \left ( \zeta(n) \right ) \approx 1,3750649947...,$$ donc cette somme n'est pas $< 1$. De plus, je rappelle que l'on peut atteindre $e^{0,78}$, le $0,78$ étant, comme l'a deviné Rainoussi anass, une approximation de $\displaystyle {\sum_{p} \frac {1}{p(p-1)}}$.

A bientôt,

Borde.

RAISSOUNI Anass1

désolé j'ai oublié d'enlever le térme associé à p=2,sinon on aura une majoration<1 à ce que je croit.

Anass

borde

Oui, mais on ne peut enlever le terme $p=2$ dans le produit, bien sûr...Le $0,78$ peut être (très) légèrement amélioré, mais cela n'apporte pas grand-chose. L'idée de l'exo est de toute façon dans les posts ci-dessus.

Bravo à tous ceux qui ont essayé !!

Borde.

borde

Egoroff, je n'avais pas vu ta dernière remarque, scusi !

Un calcul technique montre que, pour $N \geqslant 2$ entier donné, on a, pour $x > e^{e^N}$ : $$\sum_{n \leqslant x \, , \, \omega(n) \leqslant N} 1 \ll \frac {x \, (\ln \ln x)^N}{\ln x},$$ où $\omega(n)$ est le nombre de facteurs premiers distincts de $n$. D'où un phénomène de raréfaction des entiers ayant "peu" de facteurs premiers distincts.

Borde.

B....t0

Une petite info sur les fonctions de Jordan dont parle Borde et qui généralisent $\varphi$ (à moins que tout le monde connait!). J'avais (re)trouvé une formule simple pour la $k-$ième fonctions de Jordan :

$\varphi_k(n)=\sum_{d|n}d^k\mu(n/d)$ 

Celle dont parle Borde $\varphi_2(n)$ est là :

http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eisA.cgi?Anum=A007434

borde

Oui, il s'agit d'une identité de convolution (de Dirichlet) connue des gens travaillant dans le domaine : si $Id^k$ désigne la fonction puissance $k-$ème, alors l'identité de Benoït s'écrire dans le langage du produit de convolution de Dirichlet par : $\varphi_k = Id^k \ast \mu$, où $f \ast g$ désigne ce produit de convolution. Notons que, pour $k=1$, on retrouve la célèbre identité pour $\varphi$, dont la question revient souvent sur le forum. De plus, par inversion de Möbius, il veint aussi : $Id^k = \varphi_k \ast 1$ où $1$ est la fonction $1(n) = 1$.

Merci, Benoît,

Borde.

PS. S'il y en a qui sont intéressés pour une preuve de la majoration de la somme $\displaystyle {\sum_{n \leqslant x \, , \, \omega(n) \leqslant N} 1}$, je peux en donner une.