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Rambert

Je termine le chapitre "Philosophie de ZFC".
Vers 15.1.2 Un exemple fantôme 

Je suis un peu perturbé.

Donc d'après le second théorème d'incomplétude de Godel, une théorie ne peut pas prouver sa propre consistance.
Pourtant on affirme que ZFC admet un modèle (donc où ZFC démontre la consistance de ZFC) :
"Pourtant un tel modèle existe".

Donc la cardinalité infinie du modèle de ZFC permet d'échapper à Godel ou bien Godel est faux ?

Merci beaucoup d'avance 

Martial

Bonjour @Rambert

Non, Gödel n'est pas faux (paix à son âme !) et il n'y a pas de paradoxe dans l'exemple fantôme. Tu remarqueras que dans ce paragraphe tout est conditionné à "si ZFC est consistante". Je reprends l'argument.

Supposons donc que ZFC est consistante. Par le théorème de complétude elle a un modèle $M$. Ce modèle est nécessairement infini, car sinon l'axiome de l'infini y serait faux. Par Löwenheim-Skolem elle admet aussi un modèle dénombrable, disons $M'$. Regardons maintenant la relation $E$ sur $M'$, qui interprète le symbole d'appartenance $\in $ du langage de ZFC. $E$ est un sous-ensemble de $M'^2$, qui est dénombrable. Donc, via une bijection adéquate entre $M'^2$ et $\mathbb{N}$, on peut voir $E$ comme un sous-ensemble de $\mathbb{N}$.

Moralité : Toujours si ZFC est consistante, il y a une partie, disons $X$, qui témoigne de ce fait. Mais nous ne pouvons pas exhiber $X$, car cela contredirait le second théorème d'incomplétude.

En d'autres termes, le raisonnement fait ci-dessus est métamathématique, au sens où tout ce baratin ne peut pas (même en théorie) être traduit en une preuve formelle de ZFC $\vdash$ "Il existe un modèle de ZFC", i.e. ZFC $\vdash$ Cons(ZFC). Donc Gödel n'est pas contredit.

Rambert

Ok merci Martial
Au fait je ne sais pas vous mais dans mon Drive les pdf apparaissent avec le contact Yohan Le Diraison
Tu connais ce bonhomme ?

Martial

Oui je connais très bien ce bonhomme. C'est mon ancien chef de département à l'IUT, et grand informaticien devant l'Eternel. Pour être honnête c'est lui qui a créé mon site, je me suis contenté de lui envoyer les documents. Quand le truc a été au point il a partagé les droits, mais au final je crois que c'est lui le principal propriétaire du site. Aucune importance, puisque l'affaire ne rapporte pas un peso. Bon, il m'a quand même expliqué comment faire évoluer le site, ça m'évite de lui casser la tête toutes les cinq minutes.

A part ça la bonne nouvelle du jour c'est qu'apparemment tu as désormais compris l'exemple fantôme : ce matin je n'étais pas certain à 100% de la clarté de mes explications.

Rambert

Martial a dit :

@Rambert : merci pour ton appréciation.

Police 12 tu trouves ça petit ? Déjà que le bouquin fait 2700 pages, si j'augmente la taille de la police je vais me faire trucider par n'importe quel éditeur potentiel...

Re
Du moins si c'est possible de réduire les marges afin d'étirer le texte sans augmenter le nombre de pages 

Congru

@Martial vu la taille du manuscrit, ce serait peut-être mieux de le diviser en plusieurs tomes. 

Martial

@Congru : oui c'est ce que j'ai prévu, une publication en 4 volumes.

@Rambert : oui tu as raison, mais c'est l'éditeur (potentiel) qui décidera de la taille des marges, horizontales ou verticales.