Borne sup

Sakura

Soit $X=\,]-3,0]\cup\{1,3\}$.
Comment peut-on monter en utilisant la caractérisation de la borne sup que le $\sup X= 3 $ ??

$\forall \varepsilon >0,\, \exists x\in X ,\ 3-\varepsilon <x$.

Amathoué

$3 \in X$ et pour tout $\varepsilon >0$, $3-\varepsilon \leq 3$.
Encore plus convaincant :
$3 \in X$ et pour tout $m<3$, benh $m<3\leq 3$...

Math Coss

D'une part, la phrase que tu écris et qui commence par « $\forall \epsilon$ » n'est que la moitié de la caractérisation, il faut aussi (d'abord ?) montrer que $3$ est un majorant.

D'autre part, si $\epsilon>0$ t'est donné, tu ne vois pas un élément de $X$ qui est strictement plus grand que $3-\epsilon$ ? Pourrais-tu placer $3-\epsilon$ sur le dessin ci-dessous (en supposant que $\epsilon$ est « petit »), où j'ai obligeamment dessiné $X$ ?

evariste21

Bonjour,

Une discussion précédente intéressante Caractérisation de la borne sup.

Amathoué

Math Coss, je pense qu’il n’a pas de doute sur l’autre moitié(sinon, ce serait inquiétant...) et que c’était cette moitié qui lui posait problème.

Sakura

Oui, c'est bon on peut toujours trouver un $x\in X$ tel que $3-\varepsilon<x$. ( 3 est un majorant de X, c'est évident)

Merci pour votre aide.

Sakura

Merci,

Math Coss

Notez que je n'ai pas dit qu'il n'était pas évident que $3$ majore mais qu'il faut le dire.

Sakura

Oui vous avez raison, j'ai seulement oublié de le mentionner.