Estimation de 17^17^17

elodouwen

Bonjour
j'ai un petit exercice pour mes élèves, trouver le chiffre des unités de $17^{17^{17}}$.
Mais j'aimerais bien élargir en cherchant un moyen, n'importe lequel, d'estimer ce nombre en puissances de dix. Juste pour agrémenter l'énoncé de techniques diverses.
En disant que $17>16$ et que $2^{10}\approx10^3$, je parviens à minorer par $\big(2^{10^{19}}\big)^5$, soit $\big((2^{10}){10^{18}}\big)^5$, soit environ $\big(10^{3\times10^{18}}\big)^5=(10^{15\times10^{18}})$ plus grand lui-même que $\big(10^{10^{19}}\big)$.
Il doit y avoir des erreurs, je vérifierai... Mais auriez-vous d'autres techniques diverses pour le faire ?
En utilisant le $\ln$ ?

YvesM

Bonjour,

$10^{10^x}=17^{17^{17}}$
donc $10^x \ln 10=17^{17} \ln 17$
donc $x\ln 10=-\ln(\ln 10)+17 \ln 17+\ln \ln 17.$

Et on poursuit selon les connaissances sur les ln.

P.

$$\left(17^{17}\right)^{17}\neq 17^{(17^{17})}.$$

elodouwen

Oui merci, si simple…
Voici mon petit énoncé, niveau Tle ou sup