exo rigolo

Bonjour, un petit exo marrant trouvé dans un livre

Que vaut $sup\{n \in \N / \forall p \in \{2,3...n-1 \}, \ \ \ pgcd(p,n)=1 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ p \ \ premier \}$?

Réponses

  • bonjour,

    'jai tendance à dire 30 ou le suivant (mais il suffit de vérifier à la main) 210

    raisonnement :

    pgcd(p,n)= => p premier, si p² racine(n)
    ET n doit contenir (être multiple de ) tous les premier =n
    donc le dernier nombre premier choisi est 5
    p $n=\prod{p_i}$ $p_{i+1}^2$
    5 30 49
    7 210 121

    vite fait... (pendant une compile..) j'espère que je dis pas une connerie (ce serait pas la première ...)

    Cordialeemnt
  • re,

    j'ai un peu plus de temps, donc en plus "propre"
    soit $A=\{n \in \N / \forall p \in \{2,3...n-1 \}, \ \ \ pgcd(p,n)=1 \ \ \ \ \Rightarrow \ \ p \ \ premier \}$

    soit $n\in A$ et p premier.
    $p^2$ n'est pas premier (facile ;-) )
    donc $p^2
  • Je me trompe ou pgcd(4,5) = 1 ?

    Bruno

    C'est une sottise : 6 vérifie la propriété...
  • Excuse-moi Bruno, je ne comprends pas ta remarque ?
  • ha !! je crois que j'ai compris !! c'est mon horrible tableau ?
    c'est un tableau de 3 colonnes, et de 3 lignes

    la première donne des formules de calculs
    $p, \prod{p_i}, p_{i+1}^2$
    la seconde donne des valeurs
    pour p=5
    5, 30, 49 permet de "vérifier" que le nombre premier suivant au carré est supérieur à u_i
    7, 210 121
    comme je soupçonne $\prod{p_i}$ de croitre plus vite que $p_{i+1}^2$ j'en "conclus" que le majorant est 30
  • Non non muaddob, je m'as complètement gourré ! Ma remarque est totalement malvenue, j'ai confondu max et ... je ne sais quoi.

    Ma remarque montre juste que le nombre cherché, s'il existe, est de la forme $p + 1$ avec $p$ premier ce qui est une banalité.

    Bruno
  • la nuit portant conseil, je pense que j'ai encore juste (30) mais que la démo est fausse :
    restent deux points chauds:
    n est divisible par tous les premiers tq p²=n ..(exemple 6)
    et le coup du : $\prod p_i$ croit plus vite que $p_{i+1}^2$ est encore chaud à démontrer pour moi ... donc sous problème :

    montrer que : $\forall i\geq 4, \prod_{k \leq i} p_k > p_{i+1}^2$

    de là on peut en déduire que les nombres comme 6 ne peuvent plus être dans A après $u_4$, et on en déduit également que sachant que $u_{k_n}|n$ pour $k_n\geq4$ entraine que $n = u_{k_n}$

    et voilà ... reste donc à démontrer :


    montrer que : $\forall i\geq 4, \prod_{k \leq i} p_k > p_{i+1}^2$
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