Série de puissances
Bonjour.
Je préviens, je ne suis pas un mathématicien.
Sachant qu'il existe le symbole $\sum$ qui permet de sommer a l'infini et de connaître le domaine de convergence selon si c'est une suite géométrique ou autre.
Le symbole $\prod$ pour les produits.
S'il n’existe pas pour les puissances appelons $P$ le symbole d'une série de puissances infinie.
Un exemple : $$P^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2}={{{{\frac{1}{2}^{\frac{1}{2}}}^{\frac{1}{2}}}^.}^.}^.=0,641185...
$$ On peut voir que ça converge.
J'imagine que pour une valeur supérieur à 1 ça diverge.
En dessous de 0 c'est bizarre par exemple pour $P^{\infty}_{k=1}-\frac{1}{2}$ la puissance ne tend pas vers une valeur particulière la valeur tourne en boucle.
Pouvez-vous me trouver une page Wikipedia ou un truc qui parle de ça.
Cordialement.
Autre exemple: $$P^{\infty}_{k=2}\frac{1}{k}=0,6582...$$
Je préviens, je ne suis pas un mathématicien.
Sachant qu'il existe le symbole $\sum$ qui permet de sommer a l'infini et de connaître le domaine de convergence selon si c'est une suite géométrique ou autre.
Le symbole $\prod$ pour les produits.
S'il n’existe pas pour les puissances appelons $P$ le symbole d'une série de puissances infinie.
Un exemple : $$P^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2}={{{{\frac{1}{2}^{\frac{1}{2}}}^{\frac{1}{2}}}^.}^.}^.=0,641185...
$$ On peut voir que ça converge.
J'imagine que pour une valeur supérieur à 1 ça diverge.
En dessous de 0 c'est bizarre par exemple pour $P^{\infty}_{k=1}-\frac{1}{2}$ la puissance ne tend pas vers une valeur particulière la valeur tourne en boucle.
Pouvez-vous me trouver une page Wikipedia ou un truc qui parle de ça.
Cordialement.
Autre exemple: $$P^{\infty}_{k=2}\frac{1}{k}=0,6582...$$
Réponses
-
J’essaye de trouver un fil qui parlait de $x^{x^{…^x}}$.
Ici 2016. Ça pointe sur des discussions de 2007.
Mais en 2020 il me semble qu’on avait un fil pertinent.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1295309
Remarque : il ne s’agit pas de « série » puisqu’on ne somme pas. -
J'ai une petite question, dans les tours de puissances infinie, c'est dans quel sens que l'on calcule ?Je suis donc je pense
-
C’est de droite à gauche.
$a^{b^c}$ signifie $a^{(b^c)}$.
On peut argumenter que si l’on voulait étudier $(a^b)^c$ il suffirait de regarder $a^{bc}$ (formule bien connue du collège).
Édit : je n’ai pas retrouvé ce fil où Poirot, que je salue au passage, avait proposé une petite étude de convergence.
C’était « pour quelles valeurs de $x$, $x^{{.^{.^{.}}}^x}$ converge ? » -
Il me semble que la question est résolue dans le premier article vers lequel pointe ton lien, que je n'arrive pas à ouvrir mais avais survolé la semaine dernière.
-
Pour le cas 1/2 c'est l'unique solution de log(x)/x+log(2)=0 sur ]0,1[ soit x=0.641185744504985984486200482114823. Il faut considérer la suite u(1)=1/2 et u(n+1)=(1/2)^u(n), montrer que 1/2<=u(n)<=1/sqrt(2), que u(2n-1) est croissante, u(2n) décroissante puis que u(2n) et u(2n+1) convergent vers la même limite.
Ps: que fais cette question dans shtam? Ce n'est pas tout à fait délirant... -
Oui, c’est vrai.
Une généralisation du problème de départ est même la composée d’une fonction avec elle-même $f\circ\cdots\circ f$, en dehors des questions de convergence.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.5K Toutes les catégories
- 64 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.6K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 85 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 343 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 804 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres