Mesure de Lebesgue

Ratyl

Bonjour j’ai cette exercice à faire mais je bloque dès la 1ère question

J’ai choisis A_n = [-n,n] pour n entier naturel.
l(A_n)=l([-n,n]) = n - (-n) = 2n mais je ne comprends pas pourquoi c’est fini ? Car 2n tend vers l’infini quand n est grand.
Ensuite U(A_n) = U([-n,n]) pour n entier naturel qui n’est autre que tous les intervalles ouverts donc B(R)

Merci, je ferai la suite quand j’aurais compris la 1ère question et reviendrai vers vous !

gerard0

Bonjour.

N ne tend pas vers l'infini, c'est un entier donné. $\ell(A_5) = 10$ qui est parfaitement fini.

Cordialement.

NB : Pourquoi prendre un recouvrement qui te gène ? Prends en un autre ...
NBB : Tu peux prendre un recouvrement par des intervalles de longueur constante, 1 par exemple.

Kolakoski

Une mesure est dite $\sigma$-finie si on peut recouvrir $\mathbb{R}$ par une réunion dénombrable d'ensembles de mesure finie : ici les $A_n$ sont de mesure finie et
$$\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n.
$$ Ce qui prouve bien que $\ell$ est $\sigma$ finie !

Poirot

Ce n'est pas grave que la mesure des $A_n$ tende vers l'infini. Ce qui compte, c'est que pour tout $n$, la mesure de $A_n$ est finie.