Le quatrième chiffre

$ABCD$ est un carré de côté entier.
Un cercle de centre $A$, et de rayon $R$ entier coupe $BD$ en $E$ et $F$.
On suppose que $EF=2$.
Calculez le quatrième chiffre de $\sqrt2$ en base $R$.127370

Réponses

  • Magnifique problème !
    Une infinité de couples possibles pour A et R, mais toujours 0 comme réponse !

    Merci !!!
  • Bonjour

    Le quatrième chiffre de $\sqrt 2$ en base 10 n'est pas 0. Y a-t-il quelque chose dans la question qui m'échappe ?
    1.414213562
  • 10 n'est pas un rayon qui donne une figure valide (rappel, A et R sont tous les deux entiers)
  • Zgrb, une petite remarque, il manque "B" derrière "A" dans ton rappel ...
    Ce problème est effectivement une espèce de défi !
    Bien cordialement JLB
  • Bonsoir,
    Cet "exercice" mobilise quelques connaissances sur les réduites de $\sqrt 2$ ainsi qu'un peu de dextérité dans leur maniement.

    Avec $U = \dfrac {AB}2$, on parvient sans trop de difficulté à : $R^2-2U^2 =1, \quad R,U \in \N,$ une équation diophantienne familière à ceux qui la connaissent, et dont les solutions sont les couples $(R_{2n}, U_{2n})$ formés par les termes des suites ainsi définies:
    $R_0=R_1 =1, \quad R_{n+2} = 2R_{n+1} + R_n, \qquad U_0=0 , \:U_1 =1, \quad U_{n+2} = 2U_{n+1} + U_n.$

    Quelques observations numériques conduisent à considérer et à prouver l'inégalité suivante:
    $$ \forall n \in \N^*, \qquad 0<\sqrt 2-1 - \dfrac{R_{2n-1}}{R_{2n}} -\dfrac {U_{2n}}{R_{2n}^3} < \dfrac 1{R_{2n}^4} \qquad (\bigstar)$$
    Cette dernière, combinée à $U_{2n-1}<R_{2n}, \:\:R_{2n-1}<R_{2n}$, a en effet pour conséquence immédiate:
    $\quad\boxed {\text { Le développement de}\: \sqrt 2\: \text{ dans la base }\:R_{2n}\:\text{est: }\:\:\: 1,a \:b \: c\:d \dots\qquad a= R_{2n-1}, \: b=0, \:c =U_{2n} , \:d=0.}$

    Afin d'affronter un calcul que l'on pressent scabreux et incertain, il n'est pas inutile de se munir les relations suivantes, toutes faciles à établir.
    $(1) \qquad R_{2n}^2 - 2 U_{2n}^2 =1.$
    $(2)\qquad U_{2n-1}+ U_{2n} = R_{2n}.$
    $(3) \qquad U_{2n-1}R_{2n} - U_{2n}R_{2n-1}=1$
    $(4) \qquad R_{2n} -U_{2n}\sqrt 2 = \dfrac {1}{R_{2n} +U_{2n} \sqrt2}.$


    $\begin{align*}A:=\sqrt 2-1 - \dfrac{R_{2n-1}}{R_{2n}} -\dfrac {U_{2n}}{R_{2n}^3} & \overset {(2)} = \sqrt 2 +\left(\dfrac {U_{2n-1}}{U_{2n}}- \dfrac {R_{2n-1}}{R_{2n}} \right) - \dfrac {R_{2n}}{U_{2n}} - \dfrac {U_{2n}}{R_{2n}^3}\\ &\overset{(3)}=\dfrac 1 {R_{2n}U_{2n}}+ \left( \sqrt 2 - \dfrac {R_{2n}}{U_{2n}}\right) - \dfrac {U_{2n}}{R_{2n}^3} \\ &\overset{ (4)} =\dfrac 1 {R_{2n}U_{2n}}- \dfrac {1}{U_{2n}(R_{2n} +U_{2n} \sqrt2)}-\dfrac {U_{2n}}{R_{2n}^3}\\ &= \dfrac{R_{2n}^2 - U_{2n}^2}{R_{2n}^3 U_{2n}}-\dfrac {1}{U_{2n}(R_{2n} +U_{2n} \sqrt2)} \\& \overset {(1)}= \dfrac {(U_{2n}^2 +1) \sqrt 2 - R_{2n}U_{2n}}{R_{2n}^3(R_{2n}+U_{2n}\sqrt 2 )}\\&\overset{(4)}= \dfrac {\sqrt 2 - \frac1{R_{2n}+ U_{2n}\sqrt2}}{R_{2n}^4 \left (1 +\frac {U_{2n}\sqrt 2}{R_{2n}}\right)}\end{align*}$
    $\forall n \in \N^*,\qquad 0<\sqrt 2-\dfrac 1{R_{2n}+ U_{2n}\sqrt2} <\sqrt 2 \qquad 1+\dfrac {U_{2n}\sqrt 2 }{R_{2n}}> \dfrac 32, \qquad 0 <A< \dfrac 1 {R_{2n}^4}\:\square$
  • Puisque LOU16 a proposé une solution je peux proposer la mienne.

    En posant $\alpha=AB$ on obtient $2R^2-\alpha^2=2$ d'où $R^2-2U^2=1$ en posant $\alpha=2U$ (notation de LOU16).

    En écrivant $2=\dfrac{\alpha^2}{R^2-1}$ on obtient : $\sqrt2=\dfrac \alpha R\left(1-\dfrac1{R^2}\right)^{-1/2}=1+\dfrac{\alpha-R}R+\dfrac U{R^3}+\dfrac{3U}{4R^5}+\dots$ qui conduit au résultat attendu.
  • Bonjour LOU.

    Je reste sans voix.

    Toutefois un point me chagrine. Tu affirmes que $b=0$. Or mes investigations avec Wims m'ont amené à
    $\sqrt2 = 1,2620345452\ldots$ en base sept.

    Alors qui croire ?

    Amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Attention, ce n'est valable que pour les $R$ qui sont solution de $R^2-2U^2=1$.
  • Salut Jandri,
    Pardonne moi, mais je ne comprends pas:
    $\sqrt 2 =1 +\dfrac {\alpha -R} R+ \dfrac U{R^3} + \displaystyle \sum_{k=2}^{+\infty}\binom {-1/2}{k}\dfrac{(-1)^k \alpha}{R^{2k+1}}$ ne fournit pas le développement de $\sqrt 2$ en base $R$
    Il faut, me semble-t-il, bien s'assurer que $0<\sqrt 2 -1- \dfrac {\alpha -R} R- \dfrac U{R^3} < \dfrac 1 {R^4},$ ce qui est sans doute possible en majorant directement le $\sum$
  • Oui mais la majoration du reste ne pose pas de problème en mettant à part le terme en $R^5$.
  • Plutôt que de majorer la somme directement, on utilise la formule de Taylor avec reste intégral pour avoir pour tout $a\in\left]0,1\right[$ :
    \[0\leq (1-a)^{-1/2}-1-\frac{a}{2}=\int_0^a \frac{3}{4}t(1-a+t)^{-5/2}dt \leq \frac{3}{8}a^2(1-a)^{-5/2}.
    \] Ainsi puisque $r \geq 2$ :
    \[\begin{align}
    0\leq \sqrt{2}-\frac{\alpha}{r}\left(1+\frac{1}{2r^2}\right)&=\frac{\alpha}{r}\left(\Big(1-\frac{1}{r^2}\Big)^{-1/2}-1-\frac{1}{2r^2}\right)\\
    &\leq \frac{\alpha}{r}\times \frac{3}{8}\times\frac{1}{r^4}\times \left(1-\frac{1}{r^2}\right)^{-5/2}\\
    &=\frac{1}{r^4}\times \frac{3\sqrt{2}}{8} \times \left(1-\frac{1}{r^2}\right)^{-2}\\
    &\leq \frac{2\sqrt{2}}{3}\times \frac{1}{r^4}\\
    &<\frac{1}{r^4}
    \end{align}\]
  • Je suis d'accord avec bisam.

    J'avais procédé différemment en utilisant $0\leq (-1)^k{-1/2\choose k}=\displaystyle\dfrac{{2n\choose n}}{4^n}\leq 1$.

    $0\leq \displaystyle \sum_{k=2}^{+\infty}\binom {-1/2}{k}\dfrac{(-1)^k \alpha}{R^{2k+1}}\leq \dfrac{3\alpha}{8R^5}+\sum_{k=3}^{+\infty}\dfrac{\alpha}{R^{2k+1}}=\dfrac{3\alpha}{8R^5}+\dfrac{\alpha}{R^5(R^2-1)}\leq \dfrac{\alpha}{2R^5}<\dfrac1{R^4}$ en utilisant successivement $R\geq3$ et $\alpha<R\sqrt2$.
  • Bravo et merci à tous.
  • Salut.
    jandri a écrit:
    En posant $\alpha = AB$ on obtient $2R^2 - \alpha^2 = 2$..

    Je ne vois pas d'où vient cette égalité. Est ce que tu insinues que $FB = 1$ ?
    Merci.
  • Dans le triangle $AFB$ j'ai écrit $AF^2=AB^2+FB^2-2AB\times FB\cos(B)$.

    Avec $FB=\dfrac{AB}{\sqrt2}-1$ et $AF=R$ on obtient bien $2R^2=AB^2+2$.
  • Sinon avec un Pythagore dans AFO (O le centre du carré).
    On obtient directement :
    r²=a²/2+1.
    (C'est-à-dire 2r²=a²+2).
    Puis on pose u=a/2...
  • Je ne vois encore pas d'où vient $FB = \dfrac{AB}{\sqrt{2}} - 1$ ; insinues-tu que $AB = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ ?
  • La demi-diagonale du carré mesure $\dfrac{AB}{\sqrt{2}}$

    Mais la démonstration de Zgrb est plus rapide que la mienne.
  • Ah ok j'ai vu, j'avais omis une racine carré, merci
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