Des ondes au Laplacien

Riemann_lapins_cretins

Bonjour.

Pour calculer la limite en temps d'une solution à l'équation des ondes, qui est donc une fonction de $x$ uniquement, on prend simplement l'équation des ondes à laquelle on enlève le terme temporel (la dérivée seconde par rapport au temps donc), pour un terme source convenable du moins.

Comment ça s'explique ?

Merci.

Eusebius

Je ne comprends pas bien la question, il s'agit de justifier pourquoi on dégage le terme temporel ?
Si c'est bien ça, c'est probablement parce qu'on considère qu'au bout d'un moment le système atteint un point d'équilibre et son état ne dépend plus du temps donc on peut dégager tout ce qui est variation relative au temps des équations pour avoir une idée de l'état limite.

Riemann_lapins_cretins

C'est bien la question.
Si je comprends bien quantitativement je ne vois pas comment le justifier proprement.

Héhéhé

Il n'y a aucune raison que la limite quand $t \to +\infty$ existe, surtout avec des équations d'ondes où les solutions oscillent au cours du temps...

Riemann_lapins_cretins

Oui, d'où la remarque "pour un terme source convenable".

skazeriahm

Si $u(x,t)=e^{i\omega t} v(x)$ et si le terme source oscille également à la pulsation $\omega$ alors $u$ n'a pas de limite en temps mais $v$ vérifie l'équation de Helmholtz de pulsation $\omega$