$8$ divise $x^2+2$

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Bonjour, d'après mon cours, il est impossible que $8$ divise $x^2+2$ où $x\in \mathbb Z$ car $x^2+2\equiv 2\mod4$ mais je ne comprends pas... Merci pour votre aide.

YvesM

Bonjour,

Avec $x=1 \in \Z$, je calcule $8$ divise $1^2+2 = 3$ : je ne le savais pas.

J'avais mal lu l'énoncé.

Rescassol

Bonjour,

Plus simplement, si $8$ divise $x^2+2$, alors $x$ est pair et on peut poser $x=2p$.
$8$ divise $4p^2+2$, donc $4$ divise $2p^2+1$, il y a comme un problème.

Cordialement,

Rescassol

Rescassol

Bonjour,

YvesM, un cas particulier ne montre pas le cas général.

Cordialement,

Rescassol

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Rescassol pourquoi est-ce que si $8$ divise $x^2+2$ alors $x$ est pair? C'est vraiment ca qui m'intéresse, je me suis peut-être trompé en recopiant et peut-être on a en fait que $x^2+2\equiv 1\mod4$.

Le but en fait est de montrer que si $y^3=x^2+2$ alors $x$ doit être impair. Mon cours procède ainsi:

$2|x\implies 2|x^2+2\implies 2|y\implies 8|y^3=x^2+2\equiv 2\mod4$ (c'est sûrement cette dernière congruence le problème).

Fin de partie

Une autre méthode qui peut resservir à l'occasion:

On a seulement à prendre toutes les valeurs de $x$ entre $0$ et $7$ et pour chacune de ces valeurs prendre le reste modulo $8$ de l'expression $x^2+2$ et montrer qu'on n'obtient jamais un reste de $0$ (ce qui signifiera donc que $x^2+2$ n'est jamais divisible par $8$).
Si tu fais ces calculs tu pourras vérifier que $x^2+2$ ne peut avoir pour reste dans la division euclidienne par $8$ seulement l'un des nombres: $2,3,6$

Rescassol

Bonjour,

Si $x$ est impair, $x^2+2$ l'est aussi et ne peut pas être divisible par $8$.

Cordialement,

Rescassol

Poirot

Si $x$ est pair alors $x^2$ est divisible par $4$ et donc on a $x^2+2 \equiv 2 \pmod 4$. En particulier $4$ ne divise pas $x^2+2$, et $8$ encore moins, ce qui contredit le fait que $8$ divise $y^3$.

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Merci beaucoup à tous :-)