Intégrale $\int_0^\infty1/(1+x^4)$

Bonsoir,
récemment, un étudiant est venu me demander de l'aider à résoudre un exercice dont le but était le calcul de $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^{4}}$. Dans la première question, il est demandé d'établir que $\displaystyle I=J=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{1+x^{4}}dx$. Ce n'est pas difficile. Puis de calculer $I$ en posant $x=e^u$ (il n'est pas précisé dans $I$ ou $J$).
L'étudiant est en spé et ne connaît pas le théorème des résidus. De plus, même si une décomposition en éléments simples permet (lourdement) de répondre à la question, il semble qu'il faille y aller avec le changement de variables proposé. Mais voilà, je ne vois pas ce qu'il apporte.
Des idées ?

Réponses

  • Tu as un $\frac{v^\prime}{v}$, non ?
    Non.

    Divise numérateur et dénominateur par $e^{3u}$ ?
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Il se trouve que l'intégrande de $I+J$ est beaucoup plus sympathique à décomposer en éléments simples que ceux de $I$ ou $J$.
  • Un grand classique.
    \begin{align}J&=\int_0^\infty \frac{1}{1+x^4}dx\\
    &\overset{u=\frac{1}{x}}=\int_0^\infty \frac{u^2}{1+u^4}du\\
    2J&=\int_0^\infty \frac{1+x^2}{1+x^4}dx\\
    &=\int_0^\infty \frac{\frac{1}{x^2}+1}{\frac{1}{x^2}+x^2}dx\\
    &=\int_0^\infty \frac{\frac{1}{x^2}+1}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}dx\\
    &\overset{u=x-\frac{1}{x}}=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{u^2+2}du\\
    &=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)\right]_{-\infty}^\infty\\
    &=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\\
    J&=\boxed{\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}}
    \end{align}
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Fin de partie, fais gaffe, tu divises par 0.
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • nicolas.patrois : non tu n'as pas $v'/v$.
    Bisam et Fin de Partie, Il se trouve que je connais les techniques que vous me suggérez : je sais résoudre l'exercice. Ce que je ne comprends pas c'est le changement de variables proposé dans l'indication., je ne vois pas ce qu'il est censé apporter.
  • On peut s'en sortir ainsi :
    $\DeclareMathOperator{ch}{ch}$
    $\DeclareMathOperator{sh}{sh}$
    \[I+J=\int_0^{+\infty}\frac{1+x^2}{1+x^4}dx=\int_{\R}\frac{e^{u}+e^{3u}}{1+e^{4u}}du=\int_{\R}\frac{\ch(u)}{\ch(2u)}du=\int_{\R}\frac{\ch(u)}{1+2\sh^2(u)}du=\int_{\R}\frac{dt}{1+2t^2}\]
    en posant $t=\sh(u)$ dans la dernière intégrale.
  • Le changement de variable $x=e^u$ conduit à $I+J=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^u+e^{-u}}{(e^u-e^{-u})^2+2}du$.

    Edit : je n'ai pas été aussi rapide que bisam !
  • Plus court :

    I = 1/4 Beta(1/4;3/4)

    fjaclot;
  • Bonjour,

    Avec $J$ seulement, le CDV $x=e^u$ donne du $\displaystyle {e^u\over \cosh(2 u)}$ et on écrit le numérateur $e^u=\cosh(u)+\sinh(u)$ et les deux intégrales se calculent facilement en remplaçant $\cosh(2 u)$ par du $\sinh(u)$ ou du $\cosh(u)$ selon les formules à retrouver…
  • Nicolas:
    Je n'ai pas compris ton objection.
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Il doit parler du 1/x mais on se moque du 0.
  • Dans l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \frac{\arctan x}{x}dx$ on divise aussi par $0$ pourtant elle est convergente et vaut $\text{G}$ B-)-
    Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
  • Ou plus célèbre, notre bon vieux Dirichlet. Et plus simple, nos bonnes vieilles Riemann.
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