lipschitzienne+différentiable

bonsoir:)

je cherche à prouver que toute application lipschitzienne f de constante C differentiable en a verifie lldf(a)ll $\leq$ C.

en ecrivant le definition de la diiferentiabilité de f j'abouti à rien ( -lldf(a)ll $\leq$ C )

un conseil serait le bien venu merci.

Réponses

  • Soit $x$ de norme $1$ et $h_n=\dfrac xn$, alors
    $$\|df(a).x\|=\dfrac{\|f(a+h_n)-f(a)-\varepsilon(h_n).h_n\|}{\|h_n\|}$$
    avec $\varepsilon(h_n) \to 0$, on a donc:
    $$\|df(a).x\|\leq C+|\varepsilon(h_n)| \to C$$
  • ||Df(a)(h)|| <= ||f(a+h)-f(a)||+||o(h)|| <= C||h||+||h||*o(1) =
    ||h||(C+o(1)), d'ou ||Df(a)|| <= C+o(1), mais lorsque h tend vers 0, o(1) tend vers 0.
  • merci a vous bonne soirée
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