Écriture d'un couple d'applications

Julia Paule

Bonjour

Question bête : soit $X$ et $Y$ des ensembles quelconques, $f$ une application $X \rightarrow X$, $g$ une application $Y \rightarrow Y$, comment écrivez-vous l'application : $X \times Y \rightarrow X \times Y, \ (x,y) \mapsto (f(x), g(y))$ ?
$f \times g$ ou $(f,g)$, ou peu importe, les deux écritures sont possibles ?

Merci d'avance.

Julia Paule

Hum, j'ai posé la question un peu vite. $(f,g) \in Hom_{ens} (X,X) \times Hom_{ens} (Y,Y)$, donc cette écriture est possible. Rien n'empêche de l'écrire $f \times g$, non ?

Thierry Poma

@JP : bonsoir. Il est à noter que $f\times{}g$, extension canonique de $f$ et $g$ à $X\times{}Y$, appartient à $\mbox{End}_{\text{Ens}}(X\times{}Y)$, pour la catégorie $\text{Ens}$ des objets de type ensemble.

Julia Paule

Merci TP. J'imagine que $\mbox{End}_{\text{Ens}}(X\times{}Y) = {Hom}_{Ens} (X \times Y, X \times Y)$.

Pour la peine, peut-on écrire directement pour $T,X,Y$ des objets de la catégorie $C$, si $X \times Y$ est un objet de $C$ et si les morphismes de la catégorie $C$ sont des applications, ${Hom}_C (T, X \times Y) = {Hom}_C (T, X) \times {Hom}_C (T, Y)$ ?
(en effet, j'ai envie de dire : $f \in {Hom}_C (T, X \times Y) \Leftrightarrow f=(p,q) \in {Hom}_C (T, X) \times {Hom}_C (T, Y)$).

Maxtimax

par définition de produit, si $(X\times Y, p,q)$ est un produit de $X$ et $Y$ dans $C$, alors la postcomposition par $p$ et $q$ induit une bijection $\hom_C(T,X\times Y)\to \hom_C(T,X)\times\hom_C(T,Y)$ ($f\mapsto (p\circ f, q\circ f)$ )
Donc tu peux écrire $=$ si tu es à l'aise avec les identifications canoniques :-D

Mais strictement parlant, l'égalité est fausse, même pour les ensembles

En général si $f: T\to X, g: T\to Y$, on note $(f,g)$ le morphisme $T\to X\times Y$ obtenu.
Dans la situation que tu décris $f\times g$ me semble adapté et c'est ce qu'on utilise souvent.

Julia Paule

Merci beaucoup Maxtimax. Je n'arrivais pas à démontrer la bijection, et j'en étais venue à me dire qu'en fait les ensembles étaient égaux, sans en être sûre. Je vais donc réessayer de démontrer la bijection.

Maxtimax

Le fait que c'est une bijection est essentiellement la définition de produit ("il existe" --> surjection, "un unique morphisme" --> injection)

Julia Paule

Heu oui, c'est très facile de le démontrer, avec la bijection réciproque aussi. Ce qui m'a induit en erreur pour l'égalité, c'est que l'application :
$Hom_C (T,X) \times Hom_C (T,Y) \rightarrow Hom_C (T, X \times Y), (f,g) \mapsto u$, tel que $ \forall t \in T, u(t)=(f(t),g(t))$ peut s'écrire $u=(f,g)$, donc cela donne l'impression de l'identité.

Mais en fait $u=(f,g)$ est une simple écriture qui se confond avec l'égalité. Bizarre.

Maxtimax

Pourquoi bizarre ? :-D
La notation a été faite pour que (parce que) cette identification est canonique, "est" l'identité

Julia Paule

Ah merci beaucoup Maxtimax. Tu es génial !