Action d'un groupe de Grothendieck

Pablo_de_retour

Bonjour à tous

Soit $ A $ une $ C^* $-algèbre.
Soit $ \mathrm{Aut} (A) $ le groupe des $ * $-automorphismes de $ A $ dans $ A $.
Soit $ U \mathrm{Rep} (A) $ le groupe de Grothendieck de la catégorie des classes d'équivalences des $ * $ - représentations unitaires de la $ C^* $-algèbre $ A $.
Est-ce qu'il est possible de définir une action du groupe $ U \mathrm{Rep} (A) $ sur $ A $ ?
Autrement dit, est-ce que l'action : $ U \mathrm{Rep} (A) \times A \to A ,$ où l'homomorphisme de groupes $ U \mathrm{Rep} (A) \to \mathrm{Aut} (A) $ existe ?

Merci d'avance.

Poirot

Oui, et il permet de résoudre le problème inverse de Galois, tout en montrant que la théorie de Galois est fausse.

gerard0

Voir ce message.

Pablo_de_retour

Voici comment je compte résoudre ce problème,
Pour définir l'action $ \rho \ : \ \mathrm{URep} (A) \times A \to A $, il suffit de définir l'homomorphisme de groupes, $ \psi \ : \ \mathrm{URep} (A) \to \mathrm{Aut} (A) $.
Pour définir l'homomorphisme de groupes $ \psi \ : \ \mathrm{URep} (A) \to \mathrm{Aut} (A) $, il suffit de définir l'homomorphisme de groupes $ \psi \ : \ \mathrm{URep} (A) \to \mathrm{Aut} ( \mathrm{Aut} (A) ) $, en montrant en meme temps que $ \mathrm{Aut} ( \mathrm{Aut} (A) ) \cong \mathrm{Aut} (A) $.
D'où, définir l'action $ \rho \ : \ \mathrm{URep} (A) \times A \to A $ s'identifie à définir l'action $ \rho \ : \ \mathrm{URep} (A) \times \mathrm{Aut} (A) \to \mathrm{Aut} (A) $.
Pour définir l'action $ \rho \ : \ \mathrm{URep} (A) \times \mathrm{Aut} (A) \to \mathrm{Aut} (A) $, il suffit de choisir un point quelconque de $ A $, alors $ \rho = \rho_a $ est définie par, $ \rho_a ( \sigma , \varphi ) = \sigma (a) \circ \varphi \in \mathrm{Aut} (A) $, pour tout $ ( \sigma , \varphi ) \in \mathrm{URep} (A) \times \mathrm{Aut} (A) $.
Il reste à montrer que, $ \mathrm{Aut} ( \mathrm{Aut} (A) ) \cong \mathrm{Aut} (A) $.
Qu'est ce que vous pensez ?

Merci d'avance.

Pablo_de_retour

Et pour montrer que, $ \mathrm{Aut} (\mathrm{Aut} (A)) \cong \mathrm{Aut} (A) $, on applique le théorème de Cayley qu'on trouve en théorie des groupes.