Calcul d’une probabilité

Bonjour
L’exercice est le suivant.

On choisit au hasard 3 réels entre 0 et 1. Quelle est la probabilité qu’ils soient les côtés d’un triangle.

J’ai trouvé la réponse : 1/2 mais sans explication. Je vous prie de m’aider à comprendre pourquoi.
Les 3 conditions : a< b+c et b<a+c et c<a+b ne m’ont pas fait trop avancer.
Merci.

Réponses

  • Comment est-ce que tu as trouvé $1/2$ sans explication ?
    Pour chercher, on peut par exemple se demander: si on tire au hasard deux longueurs $a$ et $b$, quelles sont les contraintes (géométriques) pour la longueur du troisième côté (penser al-Kashi).
  • Bonjour,
    Je me suis peut-être mal exprimée, j’ai trouvé la réponse écrite dans un document :1/2 sans que l’auteur explique pourquoi.
    Si j’ai bien compris, il faut calculer la probabilité pour que 0<a^2+b^2-2abcosC<1 , autrement dit p((a^2+b^2-1)/2ab<cosC< (a^2+b^2)/2ab)<1
    Mais je ne vois toujours pas comment .
    Merci de m’aider encore un peu plus.
  • Je continue : on a par ailleurs : cos C <=(a^2+b^2)/2ab est toujours vérifiée car a^2+b^2-2abcosC=(a-bcosC)^2+b^2sin^2(C) >=0
    Donc la probabilité demandée est p(cosC>=(a^2+b^2-1)/2ab) qui est 1/2 car il n’y a que deux cas pour cosC .
    Est ce que c’est ça ou bien je m’égare complètement ? Merci.
  • J'ai une piste, mais pas question de sinus ou cosinus dans cette piste.

    Au lieu de noter mes 3 nombres aléatoires a,b,c, je vais les noter z,x,y. Ce sera plus parlant.

    On choisit aléatoirement un nombre z, entre 0 et 1
    Il nous reste à choisir x et y, ou mieux, il nous reste à choisir un point (x,y) dans le carré [0,1][0,1].

    Essaie de faire un dessin.
    Par exemple, on a tiré aléatoirement z=0.3.
    Dans le carré [0,1][0,1], dessine les zones 'interdites' : les zones qui ne vérifient pas l'une des 3 relations $z \le x+y$, $x \le z+y$, $y\le z+x$

    Refas un 2ème dessin, avec une autre valeur de z ...

    Tu peux calculer facilement la surface des 3 zones en question...
    Puis ensuite faire la 'moyenne' (= l'intégrale) pour toute les valeurs possibles de z.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
    L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara.
  • D'accord ! On peut y arriver de plusieurs façons. Avec ce qui est déjà écrit, ayant nos deux longueurs, il faut et suffit que la troisième satisfasse $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab \cos \widehat{C}}$ pour un certain angle $\widehat{C}$ afin qu'un triangle avec ces trois longueurs existe (le cosinus est ici notre degré de liberté pour construire un triangle à partir de deux longueurs). Cette quantité prend ses valeurs entre $|a-b|$ et $a+b$: on cherche à calculer l'évènement $\Omega=\{(a,b,c) / (a,b) \in [0,1]^{2}, c \in [|a-b|, a+b]\}$ pour une loi produit uniforme sur $[0,1]$ pour $a,b,c$.
    Il reste alors à calculer l'intégrale peu agréable $\mathbb{P}(\Omega)=\iint_{0}^{1}\int_{0}^{1}1_{[|u-v|, u+v]}(w)dudvdw$. On peut l'écrire $\iint_{0}^{1}(\min(1, u+v)-|u-v|)dudv$ et calculer. Cela devrait faire $\frac{1}{2}$ !

    La méthode de lourrran est plus géométrique.

    PS: Je n'ai vraiment pas la fibre probabiliste, donc il se peut que quelqu'un vienne ici expliquer une méthode bien plus élégante (par exemple en conservant la symétrie du problème) et mieux rédigée.
  • Si $A,B,C$ sont trois va independantes uniformes dans [0,1] le triangle de cotes $A,B,C$ n'existe pas si et seulement si un des trois evenements disjoints suivants se produit :
    $$\{B+C<A\},\ \{A+C<B\},\ \{A+B<C\}.$$ La densite de $B+C$ est $x$ si $0<x<1$ et $1-x$ si $1<x<2.$ Donc $$\Pr(B+C<A)=\mathbb{E}(\Pr(B+C<A|A))=\mathbb{E}(A^2/2)=\int_0^1(a^2/2)da=1/6.$$ D'ou le 1/2.
  • Merci d'avoir répondu P., c'est bien plus efficace (et en plus, cela reprend le message de départ de Sara1993) (tu)
  • Un très grand merci .
    C’est bien clair pour moi maintenant.
  • Autre approche. La probabilité demandée est le volume du domaine $D$ défini dans un repère orthonormal par :
    $D=\{(x,y,z) \in \mathbb R^3~ |~0\le x \le 1, ~0\le y \le 1,~ 0\le z \le 1,~ x \le y+z,~ y \le z+x,~ z\le x+y \}$.
    Soient les points $O(0,0,0),~A(0,1,1),~B(1,0,1),~C(1,1,0),~E(1,1,1)$.
    Le domaine $D$ est la réunion des tétraèdres $OABC$ (qui est régulier) et $ABCE$ (qui est trirectangle en $E$).
    Le volume de $OABC$ est $ \frac13$ et le volume de $ABCE$ est $\frac 16$.
    Bonne journée d'été indien.
    Fr. Ch.
  • Merci beaucoup, approche bien intéressante .
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